初中数学竞赛：一元二次方程

初中数学竞赛：一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．

方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．

一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．

对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△方程有两个不相等的实数根，即

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

当△＜0时，方程无实数根．

分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．

0时，＞

因为

所以

例2 解关于x的方程：

x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．

解 用十字相乘法分解因式得

[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，

所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．

例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0

的较小根为β，求α-β的值．

解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得

(20002x+1)(x-1)=0，

(x+1999)(x-1)=0，

故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以

α-β=1-(-1999)=2000．

例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．

分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为

3x-1=4x+1，

所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．

解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，

(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，

(x-1)(x+2)=0，

所以 x1=1，x2=-2．

例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．

分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．

解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．

所以原方程的根为x1=4，x2=-4．

解法2 由于x2=｜x｜2，所以

｜x｜2-3｜x｜-4=0，

所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，

所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．

所以 x1=4，x2=-4．

例6 已知二次方程

3x2-(2a-5)x-3a-1=0

有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．

解 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以

3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，

故a=3．原方程为

3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，

例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．

分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．

当c=0时，x1=x2=0；

当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．

例8 解关于x的方程：

(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．

分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．

解 分类讨论．

(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程

x-2=0，

所以x=2．

(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．

△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．

例9 解关于x的方程：

a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．

解 整理方程得

(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．

(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为

[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，

(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．

例10 求k的值，使得两个一元二次方程

x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0

有相同的根，并求两个方程的根．

解 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

a2+ka-1=0， ①

a2+a+(k-2)=0． ②

①-②有

ka-1-a-(k-2)=0，

即 (k-1)(a-1)=0，

所以k=1，或a=1．

(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根

没有相异的根；

(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为

x2-1=0，x2+x-2=0．

解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．

例11 若k为正整数，且关于x的方程

(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0

有两个不相等的正整数根，求k的值．

解 原方程变形、因式分解为

(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，

[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，

即

4，7．所以k=2，3

使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．

例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．

解 不妨设方程的根α≥β，由求根公式得

｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，

符合要求，所以m2≤1．

例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．

证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0 ，则

两式相加得

若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得

(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，

整理得

a2=b2+c2

所以△ABC为直角三角形．

例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．

解 设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球

此时正方形共有(x-2)2个球，所以

即 x2-9x+8=0，

x1=1，x2=8．

因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．

练 习

1．解方程：

(2)20x2+253x+800=0；

(3)x2+｜2x-1｜-4=0．

2．解下列关于x的方程：

(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；

(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．

3．若对任何实数a，关于x的方程

x2-2ax-a+2b=0

都有实数根，求实数b的取值范围．

4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．

5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程

4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．