机械优化设计案例

1. 题目

对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。

2.已知条件

已知数输入功p=58kw，输入转速n1=1000r/min，齿数比u=5，齿轮的许用应力[］H=550Mpa，许用弯曲应力［]F=400Mpa。 3.建立优化模型

3.1问题分析及设计变量的确定

由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据,故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。

单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为： 式中符号意义由结构图给出，其计算公式为

由上式知,齿数比给定之后,体积取决于b、z1 、m、l、dz1 和dz2 六个参数，则设计变量可取为 3。2目标函数为 3.3约束条件的建立

1）为避免发生根切，应有，得

2 )齿宽应满足,和为齿宽系数的最大值和最小值，一般取=0.9,=1.4，得

3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得

4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于，得 5）齿轮轴直径的范围:得

6）轴的支撑距离按结构关系，应满足条件：（可取=20），得 7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得 8）齿轮轴的最大挠度不大于许用值，得 9）齿轮轴的弯曲应力不大于许用值，得 4。优化方法的选择

由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题,采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab优化工具箱中的fmincon函数来求解此非线性优化问题,避免了较为繁重的计算过程。 5.数学模型的求解

5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：

Subject to：

1

5。1。2运用Matlab优化工具箱对数学模型进行程序求解

首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件 myfun.m，返回x处的函数值f：

function f = myfun(x)

f=0.785398＊(4。75＊x（1）*x(2）^2＊x(3)^2+85＊x(1)＊x(2)*x(3)^2—85*x（1）＊x(3)^2+0。92*x(1）＊x(6）^2—x（1）＊x（5）^2+0。8*x(1）*x（2)＊x（3)*x（6）-1.6*x（1)*x（3)*x(6)+x（4)＊x(5)^2+x(4）*x（6）^2+28*x(5）^2+32＊x(6）^2）

由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M文件mycon。m：

function[c,ceq]=myobj(x）

c=[17-x（2);0.9—x（1）/(x(2）*x(3))；x（1)/（x(2）*x(3))-1.4;2—x（3);x(2)*x(3）—300；100—x(5）；x（5)—150；130—x（6);x(6)—200;x(1）+0.5＊x（6）—x(4)—40;1486250/(x(2）＊x（3)＊sqrt(x（1)）)—550； 7098/(x(1）*x（2)*x(3）^2*(0。169+0。006666＊x（2)—0.0000854＊x(2）^2)）—400；7098/(x(1)＊x(2)*x(3)^2＊(0.2824+0。00177＊x（2)—0。0000394＊x(2)^2)）-400；117.04＊x（4）^4/（x（2)＊x（3）＊x（5）^4）—0.003*x(4)；(1/(x（5)^3））＊sqrt((2850000*x（4）/（x(2）＊x（3))）^2+2。4*10^12）—5。5;(1/（x（6)^3））*sqrt((2850000*x(4）/（x(2）*x（3））)^2+6＊10^13)—5.5］;

ceq=[］;

最后在command window里输入：

x0=[230；21;8;420;120；160];％给定初始值 [x,fval，exitflag,output]=fmincon（＠myfun，x0，［],[］,[］，［]，［］，［］，@myobj，output) ％调用优化过程

5.1.3最优解以及结果分析

运行结果如下图所示：

由图可知，优化后的最终结果为

x=［123。3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096］

f（x）=2.36e＊107

由于齿轮模数应为标准值,齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整，所以最优解不能直接采用,按设计规范，经标准化和圆整后：

x=[124 100 2 148 150 130] f(x)=6。16 *107

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6.结果对比分析

若按初始值减速器的体积V大约为6.32×107mm3，而优化后的体积V则为6.16×107mm3,优化结果比初始值体积减少为:

Δν＝1－(6。16×107/6.32×107)×100％＝2.5％

所以优化后的体积比未优化前减少了2.5%，说明优化结果相对比较成功。 7。参考文献

[1］ 孙靖民,梁迎春. 机械优化设计. 北京:机械工业出版社,2006。

[2］ 濮良贵，纪名刚. 机械设计. 8版. 北京：高等教育出版社，2006。

［3] 孙桓,陈作模,葛文杰。 机械原理。 7版。 北京：高等教育出版社,2006.

[4］ 李涛,贺勇军,刘志俭。 MATLAB工具箱应用指南—应用数学篇［M].北京：电子工业出版社，2000.

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