⼋年级下学期期末数学试卷
⼀、选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）1．函数y=中，⾃变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5
2．下列四组线段中，可以构成直⾓三⾓形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，33．边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm4．下列⼆次根式中，不能与合并的是（）A．B．C． D．
5．⼀次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限6．下列计算错误的是（）A．?=B．+=C．÷=2 D．=2
7．为了⽐较甲⼄两种⽔稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度⼀样，甲、⼄的⽅差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（）A．甲秧苗出苗更整齐B．⼄秧苗出苗更整齐C．甲、⼄出苗⼀样整齐D．⽆法确定甲、⼄出苗谁更整齐
8．如图，要使平⾏四边形ABCD变为矩形，需要添加的条件是（）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB=CD D．AB=BC
9．已知点M（1，a）和点N（2，b）是⼀次函数y=3x﹣1图象上的两点，则a与b的⼤⼩关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．以上都不对
10．已知等腰三⾓形的两边长分別为a、b，且a、b满⾜+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三⾓形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10⼆、填空题（共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）11．的值为．
12．⼀次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是．
13．已知⼀组数据：0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是．14．已知直⾓三⾓形的两条直⾓边长为6，8，那么斜边上的中线长是．
15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=4cm，则DE=cm．
16．正⽅形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的⾯积是cm2．
三、解答题（⼀）（共3⼩题，满分18分）17．计算：+6﹣2×（﹣）
18．已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．19．如图所⽰，已知在平⾏四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
四、解答题（⼆）（共3⼩题，满分21分）20．已知a=2+，b=2﹣，试求的值．
21．如图，是交警在⼀个路⼝统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千⽶/时）情况．（1）计算这些车的平均速度；（2）车速的众数是多少？（3）车速的中位数是多少？
22．如图，修公路遇到⼀座⼭，于是要修⼀条隧道．为了加快施⼯进度，想在⼩⼭的另⼀侧同时施⼯．为了使⼭的另⼀侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作⼀直线（在⼭的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800⽶，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1⽶）
五、解答题(三）（共3⼩题，满分27分）
23．如图，D、E分别是不等边三⾓形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC 内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）求证：四边形DGFE是平⾏四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满⾜怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
24．某通讯公司推出①、②两种通讯收费⽅式供⽤户选择，其中⼀种有⽉租费，另⼀种⽆⽉租费，且两种收费⽅式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所⽰．（1）有⽉租费的收费⽅式是（填①或②），⽉租费是元；
（2）分别求出①、②两种收费⽅式中y与⾃变量x之间的函数关系式；（3）请你根据⽤户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上⼀个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外⾓平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
⼋年级下学期末数学试卷参考答案与试题解析
⼀、选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）1．函数y=中，⾃变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5【考点】函数⾃变量的取值范围．
【分析】根据被开⽅数⼤于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故选：C．
【点评】本题考查了函数⾃变量的范围，⼀般从三个⽅⾯考虑：（1）当函数表达式是整式时，⾃变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是⼆次根式时，被开⽅数⾮负．2．下列四组线段中，可以构成直⾓三⾓形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两⼩边的平⽅和等于最长边的平⽅即可．【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直⾓三⾓形，故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直⾓三⾓形，故B选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直⾓三⾓形，故C选项错误；D、12+（）2=3≠32，不可以构成直⾓三⾓形，故D选项错误．故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a，b，c满⾜a2+b2=c2，那么这个三⾓形就是直⾓三⾓形．3．边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm【考点】菱形的性质．
【分析】利⽤菱形的各边长相等，进⽽求出周长即可．【解答】解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，利⽤菱形各边长相等得出是解题关键．4．下列⼆次根式中，不能与合并的是（）A．B．C． D．
【考点】同类⼆次根式．【专题】常规题型．
【分析】根据⼆次根式的乘除法，可化简⼆次根式，根据最简⼆次根式的被开⽅数相同，可得答案．【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；C、，故C不能与合并；D、，故D能与合并；故选：C．
【点评】本题考查了同类⼆次根式，被开⽅数相同的最简⼆次根式是同类⼆次根式．5．⼀次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】⼀次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．
【分析】先根据⼀次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据⼀次函数的性质进⾏解答即可．【解答】解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象过第⼀、⼆、四象限，∴图象不经过第三象限． 故选：C ．
【点评】本题考查的是⼀次函数的性质，即⼀次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k ＜0时，函数图象经过第⼆、四象限，当b ＞0时，函数图象与y 轴相交于正半轴．6．下列计算错误的是（ ） A ．=B ．+=C ．÷=2D ．=2
【考点】⼆次根式的混合运算．
【分析】利⽤⼆次根式的运算⽅法逐⼀算出结果，⽐较得出答案即可． 【解答】解：A 、?=
，计算正确；
B 、+，不能合并，原题计算错误；C 、÷==2，计算正确；
D 、=2
，计算正确．故选：B ．
【点评】此题考查⼆次根式的运算⽅法和化简，掌握计算和化简的⽅法是解决问题的关键．
7．为了⽐较甲⼄两种⽔稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度⼀样，甲、⼄的⽅差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（ ） A ．甲秧苗出苗更整齐 B ．⼄秧苗出苗更整齐 C ．甲、⼄出苗⼀样整齐 D ．⽆法确定甲、⼄出苗谁更整齐 【考点】⽅差．
【分析】⽅差反映⼀组数据的波动⼤⼩，⽅差越⼤，波动性越⼤，反之也成⽴，即可得出答案． 【解答】解：∵甲、⼄⽅差分别是3.5、10.9， ∴S 2甲＜S 2⼄，∴甲秧苗出苗更整齐； 故选A ．
【点评】本题考查⽅差的意义，它表⽰⼀组数据的波动⼤⼩，⽅差越⼤，波动性越⼤，反之也成⽴．8．如图，要使平⾏四边形ABCD变为矩形，需要添加的条件是（）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB=CD D．AB=BC【考点】矩形的判定．
【分析】由矩形的判定定理知，只需添加条件是对⾓线相等．【解答】解：可添加AC=BD，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形；②有三个⾓是直⾓的四边形是矩形；③对⾓线相等的平⾏四边形是矩形．
9．已知点M（1，a）和点N（2，b）是⼀次函数y=3x﹣1图象上的两点，则a与b的⼤⼩关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．以上都不对【考点】⼀次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据⼀次函数的增减性，k=3＞0，y随x的增⼤⽽增⼤解答．【解答】解：∵k=3＞0，∴y随x的增⼤⽽增⼤，∵1＜2，∴a＜b．故选：C．
【点评】本题考查了⼀次函数图象上点的坐标特征，利⽤⼀次函数的增减性求解更简便．
10．已知等腰三⾓形的两边长分別为a、b，且a、b满⾜+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三⾓形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10
【考点】等腰三⾓形的性质；⾮负数的性质：偶次⽅；⾮负数的性质：算术平⽅根；解⼆元⼀次⽅程组；三⾓形三边关系．【分析】先根据⾮负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从⽽得出三⾓形的周长．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，
当a为底时，三⾓形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三⾓形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三⾓形的周长为7或8．故选：A．
【点评】本题考查了⾮负数的性质、等腰三⾓形的性质以及解⼆元⼀次⽅程组，是基础知识要熟练掌握．⼆、填空题（共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）11．的值为4．
【考点】⼆次根式的性质与化简．
【分析】根据⼆次根式的性质：=a，（a≥0），可得答案．【解答】解：==4，故答案为：4．
【点评】本题考查了⼆次根式的性质，熟记⼆次根式的性质是阶梯关键．12．⼀次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．【考点】⼀次函数图象上点的坐标特征．【分析】令?1x=0，求出y的值即可．【解答】解：∵令x=0，则y=4，
∴⼀次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查的是⼀次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．13．已知⼀组数据：0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是4．【考点】中位数；众数．
【分析】根据众数为4，可得x=4，然后把这组数据按照从⼩到⼤的顺序排列，找出中位数．【解答】解：∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x=4，
这组数据按照从⼩到⼤的顺序排列为：0，2，4，4，5，则中位数为：4．故答案为：4．
【点评】本题考查了中位数的知识：将⼀组数据按照从⼩到⼤（或从⼤到⼩）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．14．已知直⾓三⾓形的两条直⾓边长为6，8，那么斜边上的中线长是5．【考点】直⾓三⾓形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】利⽤勾股定理列式求出斜边，再根据直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边==10，所以，斜边上的中线长=×10=5．故答案为：5．
【点评】本题考查了直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=4cm，则DE=2cm．
【考点】三⾓形中位线定理．【专题】常规题型．
【分析】根据三⾓形的中位线得出DE=BC，代⼊求出即可．【解答】解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC．⼜∵BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：2．
【点评】本题主要考查对三⾓形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运⽤性质进⾏计算是解此题的关键．16．正⽅形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的⾯积是cm2．
【考点】正⽅形的性质．【专题】⼏何图形问题．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的⾯积等于正⽅形的⾯积+⼀个三⾓形的⾯积，⽤相似求出三⾓形的⾯积，阴影部分的⾯积可证．
【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的⾯积=△ABD的⾯积+△BDG的⾯积（G为BF与DE的交点），∴△ABD的⾯积=正⽅形ABCD的⾯积=a2．
∵△BCD中EF为中位线，∴EF∥BD，EF=BD，∴△GEF∽△GBD，∴DG=2GE，
∴△BDE的⾯积=△BCD的⾯积．
∴△BDG的⾯积=△BDE的⾯积=△BCD的⾯积=?a2=a2．∴阴影部分的⾯积=a2+a2=a2．故答案为：a2．
【点评】本题考查正⽅形的性质，正⽅形的四个边长相等，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算．三、解答题（⼀）（共3⼩题，满分18分）17．计算：+6﹣2×（﹣）【考点】⼆次根式的混合运算．【专题】计算题．
【分析】先把各⼆次根式化为最简⼆次根式，然后去括号后合并即可．【解答】解：原式=2+6﹣2（3﹣）=2+6﹣6+2=4．
【点评】本题考查了⼆次根式的计算：先把各⼆次根式化为最简⼆次根式，再进⾏⼆次根式的乘除运算，然后合并同类⼆次根式．
18．已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．【考点】⼀次函数与⼀元⼀次不等式．【专题】计算题．
【分析】把点（1，﹣1）代⼊直线y=2x﹣b得到b的值，再解不等式．【解答】解：把点（1，﹣1）代⼊直线y=2x﹣b得，﹣1=2﹣b，解得，b=3．函数解析式为y=2x﹣3解2x﹣3≥0得x≥．
【点评】本题考查了⼀次函数与⼀元⼀次不等式，要知道，点的坐标符合函数解析式．19．如图所⽰，已知在平⾏四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
【考点】平⾏四边形的性质；平⾏线的性质；全等三⾓形的判定与性质．【专题】证明题．
【分析】根据平⾏四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平⾏四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADE=∠CBF⼜∵BE=DF，∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DAE=∠BCF．
【点评】本题考查了平⾏四边形性质，平⾏线性质，全等三⾓形的性质和判定的应⽤，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学⽣的推理能⼒．四、解答题（⼆）（共3⼩题，满分21分）20．已知a=2+，b=2﹣，试求的值．
【考点】⼆次根式的化简求值；分式的化简求值．【专题】计算题．
【分析】对要求的代数式通分后，发现只需求得a，b的和、差、积即可代⼊计算．【解答】解：∵a=2+，b=2﹣，∴a+b=4，a﹣b=2，ab=1．⽽=，∴===8．
【点评】掌握此类题的简便计算⽅法．
21．如图，是交警在⼀个路⼝统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千⽶/时）情况．（1）计算这些车的平均速度；（2）车速的众数是多少？（3）车速的中位数是多少？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．【专题】图表型．
【分析】（1）根据平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据众数的定义即⼀组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；（3）根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15=60（千⽶/时）；（2）70千⽶/时出现的次数最多，则这些车的车速的众数70千⽶/时；（3）共有15个，最中间的数是第8个数，则中位数是60千⽶/时．
【点评】此题考查了频数（率）分布直⽅图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平均数的计算公式是解本题的关键．
22．如图，修公路遇到⼀座⼭，于是要修⼀条隧道．为了加快施⼯进度，想在⼩⼭的另⼀侧同时施⼯．为了使⼭的另⼀侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作⼀直线（在⼭的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800⽶，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1⽶）
【考点】勾股定理的应⽤．【专题】⼏何图形问题．
【分析】⾸先证明△BCD是等腰直⾓三⾓形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代⼊BD=800⽶进⾏计算即可．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（⽶），
答：直线L上距离D点566⽶的C处开挖．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应⽤，在应⽤勾股定理解决实际问题时勾股定理与⽅程的结合是解决实际问题常⽤的⽅法，关键是从题中抽象出勾股定理这⼀数学模型，画出准确的⽰意图．领会数形结合的思想的应⽤．五、解答题(三）（共3⼩题，满分27分）
23．如图，D、E分别是不等边三⾓形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC 内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）求证：四边形DGFE是平⾏四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满⾜怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
【考点】三⾓形中位线定理；平⾏四边形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1）⾸先利⽤三⾓形中位线的性质得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平⾏四边形；
（2）OA=BC时四边形DGFE是菱形，利⽤（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE=BC．同理，GF∥BC，GF=BC．∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平⾏四边形；（2）OA=BC时四边形DGFE是菱形，理由如下：
连接OA．由（1）得出四边形DEFG是平⾏四边形，∴AO=BC，
∴GD=AO，GF=BC，∴DG=GE，
∴平⾏四边形DEFG是菱形．
【点评】本题考查了三⾓形的中位线平⾏于第三边并且等于第三边的⼀半，平⾏四边形的判定，菱形的判定以及平⾏四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
24．某通讯公司推出①、②两种通讯收费⽅式供⽤户选择，其中⼀种有⽉租费，另⼀种⽆⽉租费，且两种收费⽅式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所⽰．
（1）有⽉租费的收费⽅式是①（填①或②），⽉租费是30元；（2）分别求出①、②两种收费⽅式中y与⾃变量x之间的函数关系式；（3）请你根据⽤户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
【考点】⼀次函数的应⽤．【专题】应⽤题．
【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种⽅式有⽉租，哪种⽅式没有，有多少；（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，⽤待定系数法求函数的解析式即可；（3）求出当两种收费⽅式费⽤相同的时候⾃变量的值，以此值为界说明消费⽅式即可．【解答】解：（1）①；30；
（2）设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代⼊即可：500k1+30=80，∴k1=0.1，500k2=100，∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；
（3）当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话⽅式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话⽅式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话⽅式①、②⼀样实惠．
【点评】本题考查的是⽤⼀次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利⽤⼀次函数求最值时，关键是应⽤⼀次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合⾃变量的取值范围确定最值．
25．如图，△ABC中，点O是边AC上⼀个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外⾓平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
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