历年高考数学试题(解三角形)

一、选择题，在每小题给出的四个选择项只有一项是符合题目要求的。 1.在ABC中．sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.则A的取值范围是( ) (A)(0，

] (B)[，) (c)(0，] (D)[，) 663322.若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)c24，且C=60°，则ab的值为（ ） （A）

42 （B）843 (C)1 (D) 333．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且ABCD,2AB3BD,BC2BD，则sinC的值为（ ）

A．

3366 B． C． D． 3636b（ ） a4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则A．23 B．22 C．3 D．2

5.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（ ） （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

6．在ABC中，角A,B,C的所对的边长分别为a,b,c，若C1200,c2a，则( ) A．a>b B.a7.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）

（A）2sin2cos2 （B）sin3cos3 （C）3sin3cos1 （D）2sincos1 8.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

111,,，则此人能（ ） 13115（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形

10.如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF1 / 45

（ ）

A.

33162 B. C. D.

4327311．在RtABC中，C90，AC4，则ABAC等于（ ） A．16 B．8 C．8 D．16

12．在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=（ ） A.－

662222 B. C.－ D.

33332213.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab3bc，sinC23sinB，则A=（ ） （A）30 （B）60 （C）120 （D）150 14.已知ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c若a=c=6A.2 B．4＋23 C．4—23 D．62 15.已知锐角ABC的面积为33，BC4,CA3，则角C的大小为（ ） A.75° B.60° B.45° D.30°

16．设ABC的三个内角A,B,C，向量m(3sinA,sinB)，n(cosB,3cosA)，若

00002且A75，则b=（ ）

mn1cos(AB)，则C=（ ）

A．

25 B． C． D．

36635b,A2B，则cosB=（ ） 217．ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若aA.5555 B. C. D.

435618．已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量m=(3,1),n=(cosA,sinA),若mn,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为（ ）

(A)

2, (B), (C), (D), 6336363319．在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC( ) A．3223 B． C． D． 233220．已知△ABC中，a=2,b=3,B=60°,那么角A等于（ ） （A）135° (B)90° (C)45° (D)30°

2 / 45

21．在ABC中，AB5,AC3,BC7,则BAC的大小为（ ） A．

253 B． C． D． 36432，b6，B120，则a等于（ ）

22．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cA．6 B．2 C．3 D．2

23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为（ ） A.

52 B. C.或 D.或

636363,a=3,b=1，则c=（ ） 324．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=(A)1 (B)2 (C)3－1 (D)3

25.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB（ ）

A．

2213 B． C． D．

434426．ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量p(ac，b)，

q(ba，ca)．若

p∥q，则角C的大小为（ ）

πππ2π Ｂ． Ｃ． Ｄ． 632327．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）

Ａ．Ａ．

31515 Ｂ．3 Ｃ． Ｄ． 287228．设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，则abbc是A2B的（ ） （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 29.若△ABC的内角A满足sin2A2，则sinAcosA（ ） 3A.

15 B.31555 C. D. 33330.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形

3 / 45

B．A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形

C．A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 D．A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

31．用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）

（A）85cm2 （B）610cm2 （C）355cm2 （D）20cm2

32．如图，在ΔABC中，ADAB，BC3BD，AD1，则ACAD=（ ）

（A）23 （B）

33 （C） （D）3 23二、填空题

33．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，

各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为

i(i1,2,3)，则cos13cos233sin13sin233____________ .

34.在ABC中，B60,AC3，则AB2BC的最大值为 。 35.若ABC的面积为3，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_____________. 36．在ABC中.若b=5，B4，sinA=

1，则a=___________________. 337.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。 38．在ABC中。若b=5，B4，tanA=2，则sinA=_____；a=_______。

39.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。 40．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点，则

0PA3PB的最小值为____________。

41．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a2,b2,sinBcosB2,，则角A的大小_____．

batanCtanC6cosC，则=_____。 abtanAtanB43．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

42．在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，

abacotAbcotB且BF2FD，则C的离心率为 .

44．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=

1DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为33，24 / 45

则BAC=_______.

45．已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边．若a1,b3,AC2B，则sinC＝ 。

46．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若

3bccosAacosC，则

cosA_________。

47．在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD,ADBD=_____

2,ADB135.若AC2AB,则

2，则a= 。 3149．如图，AA1与BB1相交与点O,AB//A1B1且ABA1B1，若AOB得外接圆直径为1，则A1OB1248．在△ABC中，若b=1，c=3，C的外接圆直径为________

50．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a51．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c3,b3,c30,则A＝ . 2，b6，B120，则a ．

52．满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是 ．

53.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12, BAC120，则此球的表面积等于 。

54．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 ；

（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .

55．在锐角ABC中，b6xlyB，则

AC的值等于 ，AC的取值范围为 。 cosA56．已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_____ 57．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于 ．

58．在ABC中，若tanA1，C150，BC1，则AB ． 359．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭

5 / 45

ABD

Cx2y2sinAsinC1上，则圆 . 2516sinB60．如图，在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则

AD·BC ．

61．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b=7，c3，Cπ，则3B ．

62．在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c= ,B的大小是 .

63．在ABC中，已知a33，b＝4，A＝30°，则sinB＝ . 464．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若CAB750，CBA600，则A、C两点之间的距离是 千米。

65．已知⊿ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC的面积为 . 三、解答题

65．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosC1sin（1）求sinC的值；

（2）若ab4(ab)8，求边c的值. 解：（1）已知sinCcosC1sin 2sin22C. 2C 2CCCCCCCcoscos2sin2cos2sin2sin 2222222CCCCCCCcos2sin2sin0sin2cos2sin10 2222222整理即有：2sin又C为ABC中的角，sinC0 22CC1C1CCCC1Csincossincos2sincoscos2sin2222224222242sinCC33cossinC 224422（2）ab4ab8

a2b24a4b440a2b20a2,b2

22 又cosC1sinC27，ca2b22abcosC71 466．ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB53，cosADC，求AD． 1356 / 45

67．在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinBsinC1，是判断ABC的形状。

22268．设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc.

(Ⅰ)求sinA的值；

2sin(A)sin(BC)44的值. (Ⅱ)求

1cos2Ab2c2a222, 解：（I）由余弦定理得cosA2bc37 / 45

又0A,故sinA1cosA21. 32sin(A （II）原式41cos2A)sin(A4

)2sin(A2(42sin2A)sin(A)4

2222sinAcosA)(sinAcosA)2222 22sinAsin2Acos2A2sin2A 7.269．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝c2）.

（Ⅰ）求角C的大小; （Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值. (Ⅰ)解：由题意可知

3（a2＋b2－431πabsinC=,2abcosC. 所以tanC=3. 因为0423（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(

32π1π-A)=sinA+A+sinA=3sin(A+)≤3. 2326当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是3. 70．在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6,

AD2DC2AC2100361961,、 由余弦定理得cos=

2ADDC21062ADC=120°, ADB=60°

在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得

ABAD,

sinADBsinB8 / 45

AB=

ADsinADB10sin60sinBsin4510223256 71．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosA2cosC2ca。 cosBbsinC的值； sinA1（Ⅱ）若cosB，b=-2，求△ABC的面积S.

4（Ⅰ）求

72．已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C．

73．在ABC中，（Ⅰ）证明B=C： （Ⅱ）若cosA=-

ACcosB。 ABcosC1，求sin4B的值。

33sinBcosB=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）sinCcosC1. 3（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=0.因为BC，从而B-C=0.所以B=C.

（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=

9 / 45

又0<2B<,于是sin2B=1cos22B=

22. 3从而sin4B=2sin2Bcos2B=

42722，cos4B=cos2Bsin2B. 99所以sin(4B

3)sin4Bcos3cos4Bsin34273 1874．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinAacosC，求角C的大小。

75．设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知a1.b2.cosC（Ⅰ）求ABC的周长 （Ⅱ）求cosAC的值

1. 410 / 45

（II）求3sinAcos(B

4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

76．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C. 由AC90，得A为钝角且sinAcosC， 利用正弦定理，ac2b可变形为sinAsinC2sinB，

2sin(C45)2sinB，

即有sinAsinCcosCsinC又A、B、C是ABC的内角，故

C45B或(C45)B180(舍去)

所以ABC(90C)(C45)C180。所以C15.

77．在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．已知sinAsinCpsinBpR,且ac12b． 411 / 45

（Ⅰ）当p5,b1时，求a,c的值； 4（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

5ac,4（I）解：由题设并利用正弦定理，得

ac1,41a1,a,解得4 1或c,4c1. （II）解：由余弦定理，bac2accosB

222(ac)22ac2accosB11p2b2b2b2cosB,

2231即p2cosB,22因为0cosB1,得p(,2)，

232由题设知p0,所以6p2. 278．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos(BC)0，求边BC上的高.

解：由12cos(BC)0和BCA，得

12cosA0,cosA13,sinA. 22bsinA2. a2

再由正弦定理，得sinB

由ba知BA,所以B不是最大角,B2,从而cosB1sinB2. 2

由上述结果知sinCsin(AB)231(). 22231. 2

设边BC上的高为h，则有hbsinC79．在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

12 / 45

（1）若sin(A61（2）若cosA,b3c，求sinC的值.

3

)2cosA, 求A的值；

80.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a． （I）求

b； a（II）若c2=b2+3a2，求B．

解：（I）由正弦定理得，sinAsinBcosA222sinA，即

sinB(sin2Acos2A)2sinA

故sinBb2sinA,所以2. ………………6分

a222 （II）由余弦定理和cb3a,得cosB2222由（I）知b2a,故c(23)a.

(13)a. 2c可得cosB212,又cosB0,故cosB,所以B45 …………12分 2281.在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3acosAccosBbcosC. （1）求cosA的值； (2)若a1,cosBcosC23，求边c的值． 3解：（1）由 3acosAccosBbcosC正弦定理得：

13 / 45

3sinAcosAsinCcosBsinBcosCsin(BC)

及：3sinAcosAsinA所以cosA1。 3 （2）由cosBcosC23 3 cos(AC)cosC23展开易得： 36 3 cosC2sinC3sinC 正弦定理：

ac3c sinAsinC282.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinAacosC. （I）求角C的大小；

)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

4解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.

因为0A,所以sinA0.从而sinCcosC.又cosC0,所以tanC1,则C（II）由（I）知B（II）求3sinAcos(B4

3A.于是 43sinAcos(B)3sinAcos(A)43sinAcosA2sin(A).

63110A,A,从而当A,即A时,466126232sin(A)取最大值2． 6综上所述，3sinAcos(B5.

4312cosA-2cosC2c-a83.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． =cosBbsinC（I）求的值；

sinA1（II）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长。

4)的最大值为2，此时A,B14 / 45

解：（I）由正弦定理，设

abck, sinAsinBsinC2ca2ksinCksinA2sinCsinA则,

bksinBsinBcosA2cosC2sinCsinA所以.

cosBsinB即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得sin(AB)2sin(BC). 又ABC，

所以sinC2sinA

sinC2. sinAsinC （II）由2得

sinAc2a.

因此

由余弦定得及cosB1得 4b2a2c22accosBa24a24a24a2.所以b2a. 又abc5, 从而a1, 因此b=2。

84．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

14

cosA2cosC2ca cosBbsinC的值； sinA1（Ⅱ）若cosB，b=-2，求△ABC的面积S.

4（Ⅰ）求

15 / 45

85．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知BC,2b（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）cos(2A3a.

4)的值．

3a,可得cb3a 2 （Ⅰ）解：由BC,2b

3232aaa2bca144. 所以cosA2bc3332aa22222 （Ⅱ）解：因为cosA221 ,A(0,)，所以sinA1cos2A33

742cos2A2cos2A1.故sin2A2sinAcosA.

99所以cos2A

72422872cos2Acossin2Asin. 44492921812. 1386．△ABC的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a，b，c，cosA=（1）求ABAC （2）若c-b=1，求a的值.

12125

解：由cosA= ，得sinA=1 ()2 = . 1313131

又 bc sinA=30，∴bc=156. 2

12

（1）ABAC=bc cosA=156· =144. 13

12

（2）a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1- )=25， ∴a=5

13

87．设函数f(x)cos(x（Ⅰ）求f(x)的值域；

2x)2cos2,xR. 3216 / 45

（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)1,b1,c

88．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C. （I）求sinC的值；

（II）当a=2，2sinAsinC时，求b及c的长. （Ⅰ）解：因为cos2C12sinC

及0C 所以sinC23，求a的值.

141， 410. 4 （Ⅱ）解：当a2,2sinAsinC时，

由正弦定理

ac，得 sinAsinC14c4.

由cos2C2cosC1,及0C得

2

cosC6. 4222

由余弦定理cab2abcosC，得

b26b120

解得b6或26 17 / 45

所以b6,b26 或c4c4.89．如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 解：由题意知AB=5(3+3)海里，

DBA906030,DAB45,

ADB105

在DAB中，由正弦定理得

DBAB sinDABsinADBDBAB•sinDAB5(33)•sin455(33)•sin45

sinADBsin105sin45•cos60sin60•cos45=53(13)103（海里），

(13)2又DBCDBAABC30(9060)60,BC203海里， 在DBC中，由余弦定理得

CD2BD2BC22BD•BC•cosDBC

1900 2301（小时）。 CD30（海里），则需要的时间t30 = 30012002103203答：救援船到达D点需要1小时。

90．在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC. （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c

即abcbc

由余弦定理得 abc2bccosA 故 cosA22222221，A=120° 218 / 45

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinBsinCsinBsin(60B)

31cosBsinB 22sin(60B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

91．设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A，B，C所对边长，并且

sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B.

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若ABAC12,a27，求b,c（其中bc）．

2解：（I）因为sinA(3131cosBsinB)(cosBsinB)sin2B 2222313cos2Bsin2Bsin2B,444

3所以sinA,又A为锐角,所以A.23 （II）由ABAC12可得 cbcosA12. ① 由（I）知A cb24 ②

222由余弦定理知acb2cbcosA,将a27及①代入，得③+②×2，得(cb)100，所以

3,所以

cb10.

因此，c，b是一元二次方程t10t240的两个根. 解此方程并由cb知c6,b4.

92．ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB

253，cosADC，求AD． 13519 / 45

93．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（I）求ABC的面积； （II）若c1，求a的值．

94．在ABC中，BC（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A

95．已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a,b)，n(sinB,sinA)，

A25，ABAC3． 255,AC3,sinC2sinA。

4)的值。

p(b2,a2)

若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；若m⊥p，边长c = 2，角C=

，求ΔABC的面积 320 / 45

96．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(AC)cosB

97．在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知ac2b，且sinB4cosAsinC，求b.

98．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求∠DEF的余弦值。

2232,bac，求B. 221 / 45

99．如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，

00062.449）

22 / 45

100.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A（1）求C；

（2）若CBCA13，求a,b，c．

101.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA (Ⅰ)确定角C的大小；

（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

6，(13)c2b．

332,求a＋b的值。

23 / 45

102.在

ABC中，C-A=

1，sinB=。 23（I）求sinA的值；

(II)设AC=6，求△ABC的面积。

103.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（I）求ABC的面积； （II）若bc6，求a的值．

A25，ABAC3． 2524 / 45

104.在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA。 (Ⅰ)求AB的值； (Ⅱ)求sin2A

105．设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(AC)cosB的值 432，bac，求2B。

25 / 45

22106.在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知ac2b，且

sinAcosC3cosAsinC,求b。

107.在ABC中，已知2ABAC3ABAC3BC，求角A，B，C的大小

226 / 45

108.已知向量a(cosa,sina),b(cos,sin),c(1,0) （Ⅰ）求向量bc的长度的最大值； （Ⅱ）设a

109．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积.

4，且a(bc)，求cos的值。

3，cosA4,b3. 527 / 45

110．在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=（I）求sinA的值；

(II)设AC=6，求ABC的面积。

111.在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知ac2b． （Ⅰ）若B2221。 34，且A为钝角，求内角A与C的大小；

（Ⅱ）求sinB的最大值．

28 / 45

112．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。 （1）求cos∠CBE的值； （2）求AE。

DCEAB113．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b； （Ⅱ）若sinB2sinA，求△ABC的面积．

． 329 / 45

114．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca3bc，求： （Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）2sinBcosCsin(BC)的值.

115．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cosB=3，bsinA=4． （Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S10，求△ABC的周长l．

22230 / 45

116.在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知ac2b。 （Ⅰ）若B2224，且A为钝角，求内角A与C的大小；

（Ⅱ）若b2，求△ABC面积的最大值。

117．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB。小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD。已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米） C

A B

D O o31 / 45

118．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且acosBbcosA（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(AB)的最大值．

119．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b；

（Ⅱ）若sinCsin(BA)2sin2A，求△ABC的面积．

3c． 5． 332 / 45

120．在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，a＝23，tancos2

121．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求： （Ⅰ）

ABC＋tan＝4，sinBsinC＝22A．求A、B及b、c． 2a的值； c（Ⅱ）cotB+cotC的值.

33 / 45

122．在△ABC中，cosA53，cosB． 135（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设BC5，求△ABC的面积．

123．在△ABC中，cosB（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC

54，cosC． 13533，求BC的长． 234 / 45

124．在△ABC中，已知AC2，BC3，cosA（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin2B

125．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a33，c5，求b．

4． 5的值． 635 / 45

126．在ABC中，tanA（1）求角C的大小；

（2）若AB边的长为17，求BC边的长。

127．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得

13,tanB。 45BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．

36 / 45

128．已知ABC的周长为21，且sinAsinB（Ⅰ）求边AB的长； （Ⅱ）若ABC的面积为

129．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a2,2sinC

1sinC，求角C的度数。 6CB25π，cos，求

254△ABC的面积S．

37 / 45

130．在△ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y． （1）求函数yf(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

131．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

38 / 45

132．已知△ABC的面积为3，且满足0ABAC6，设AB和AC的夹角为． （I）求的取值范围； （II）求函数f()2sin2

133.已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). （1）若c5，求sin∠A的值;

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

134．已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m1,3,ncosA,sinA，且mn1

π3cos2的最大值与最小值． 439 / 45

（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若

135．已知三角形△ABC，∠B=450，AC=10，cosC=（I）求BC边的长；

（II）记AB的中点为D，求中线CD的长。

25. 51sin2B3，求tanB 22cosBsinB40 / 45

136．ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos大值。

138．如图，在ABC中，AC2，BC1，cosC（1）求AB的值； （2）求sin2AC的值.

BC取得最大值，并求出这个最23． 4139.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（

32） 341 / 45

(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数； (2)求y＝

140．如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,ABAD,记CAD,ABC. (Ⅰ)证明:sincos20; (Ⅱ)若ACA11＋的最大值与最小值。 22S1S2AMBDNC3DC,求的值.

B图3DC

141．如图，在ABC中，ABC60,BAC90,AD是BC上的高，沿AD把ABC折起，使

BCD90。

42 / 45

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与 夹角的余弦值。 AEDB

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ， 又DBＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面

平面BDC.

（Ⅱ ）由∠ ＢＤＣ＝90及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设DB=1，以D为坐标原点，以

，，所在直线x,y,z轴建立如图所示的空间直角DCDBDA坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，3），E（

13，，0）， 2213,,3=， AE22=（1，0,0,）， DB与夹角的余弦值为 AEDBAEDBAEDB121224cos＜，＞=AEDB22 22142．叙述并证明余弦定理。

解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2b2c22bccosA，

43 / 45

b2c2a22cacosB， c2a2b22abcosC.

证法一 如图，

c2BC

ACAB•ACAB AC2AC•ABAB AC2AC•ABcosAAB b2bccosAc

即 abc2bccosA 同理可证 bca2cacosB， cab2abcosC

证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则

222222222222222C(bcosA,bsinA),B(c,0)，

143．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。

（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此

44 / 45

算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）

HHhHtanAD，同理：AB，BD。 ADtantantanHHhhtan41.24124。 ，解得：Htantantantantan1.241.20 AD—AB=DB，故得

因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知dAB，得tanHHhHh， ,tandADDBdHHhtantanhdhd tan()d2HHhH(Hh)1tantan1dH(Hh)ddddH(Hh)d2H(Hh)，（当且仅当dH(Hh)125121555时，取等号）

d故当d555时，tan()最大。 因为02，则02，所以当d555时，-最大。

故所求的d是555m。

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