小学奥数专题抽屉原理一

小学奥数专题—抽屉原理(一)

[专题介绍] 把4只苹果放到3个抽屉里去，共有4种放法（请小朋友们自己列举），不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

……

更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。

利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

[经典例题]

【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？

【分析及解答】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

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【分析及解答】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？

【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

【分析及解答】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？

2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？

3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？

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【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

【分析及解答】从最“不利”的取出情况入手。

最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

提示

抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（及“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，及“n+1个苹果”的条件矛盾。

运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方

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法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。

例5 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

【分析及解答】首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

例6 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

【分析及解答】扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

例7证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

【分析及解答】 在及整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这

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8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究及整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。

在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“苹果”.如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

例8 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

【分析及解答】我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。

现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。

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例9 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

【分析及解答】在这20个自然数中，差是12的有以下8对：

｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。

例10 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。

【分析及解答】根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：

｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。

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例11 某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

【分析及解答】共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人及其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人及每位到会校友都握了手.校友人数及握手次数的不同情况（0，1，2，…，n-1）数都是n，还无法用抽屉原理。

然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

例12在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

【分析及解答】 把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。

将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。

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所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。

例13有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数及桔子的总数都是偶数？

【分析及解答】 由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。

对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数及偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。

将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数及桔子的总数都是偶数。

例14用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

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【分析及解答】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

习题

1.某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中任选几位同学就一定保证其中

有两位同学的年龄相同？

2.中午食堂有5种不同的菜和4种不同的主食， 每人只能买一种菜和一种主食， 请你证明某班

在食堂买饭的21名学生中，一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。

3.证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

4.为了欢迎外宾来校参观，学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同学都左右两手各拿

一面彩旗列队迎接外宾.至少有多少位同学才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗

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颜色一

样，而且（左、右）顺序也相同？

5.从10至20这11个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。

6.从1、2、3、…、20这20个数中，任选12个数，证明其中一定包括两个数，它们的差是11。

7.20名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人比赛一次） ，证明：在比赛中

的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次。

8.从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数 ，

其中的一个是另一个的倍数.

习题解答

1.从6岁到13岁共有8种不同的年龄，根据抽屉原理，任选9名同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同。

2.共有4×5=20（种）不同的买饭菜的方式，看作20个抽屉，21名同学按照买饭菜的方式进入相应的抽屉， 根据抽屉原理， 至少有两人属于同一抽屉， 即他们所买的菜和

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主食是一样的。

3.把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数。

4.持两面彩旗的方式共有以下9种：红红、黄黄、绿绿、红黄、黄红、红绿、绿红、黄绿、绿黄.把这9种持旗方式看作9个抽屉 ，根据抽屉原理可得出， 至少要有10个同学， 才能保证他们当中至少有两人不但拿小旗的颜色一样而且顺序相同。

5.将这11个自然数分成下列6组：

｛10，19｝ ， ｛11，18｝ ， ｛12，17｝ ， ｛13，16｝ ， ｛14，15｝ ， ｛20｝ ，从中任取7个数，根据抽屉原理，一定有两个数取自同一数组，则这两个数的和是29。

6.把这20个数分成下列11个组。

｛1，12｝ ， ｛2，13｝ ， ｛3，14｝ ，…｛9，20｝ ， ｛10｝ ， ｛11｝.其中前9组中的两数差为11.任取12个数，其中必有两个数取自同一数组，则它们的差是11.

7.如果有一个人赛过0次（即他还未及任何人赛过） ，那么最多的只能赛过18次；如果有人赛过19次（即他已及每个人都赛过了） ，那么最少的只能赛过1次.无论怎样，都只有19种情况 ，根据抽屉原理，20名棋手一定有两人赛过的场次相同。

8.把这200个数分类如下：

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①1，1×2，1×22，1×23，…，1×27，

②3，3×2，3×22，3×23，…，3×26，

③5，5×2，5×22，5×23，…，5×25，

…

(50)99，99×2，

(51)101，

(52)103，

…

(100)199，

以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类 ，因此其中一个数是另一个数的倍数。

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