2018-2019学年福建省厦门一中高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）如果A＝{x|x＞﹣1}，那么下列表示正确的是（ ） A．0⊆A
B．{0}∈A
C．∅∈A
D．{0}⊆A
2．（5分）设A＝{x∈Z|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，则A∩B＝（ ） A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5}
C．{x|2≤x≤5}
D．{x|1＜x≤5}
3．（5分）已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有（ ） A．M⊆∁UN
B．M⊇∁UN
C．∁UM＝∁UN
D．M⊆N
4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．B．C．
与f（x）＝x 与f（x）＝x﹣1 与f（x）＝x﹣3
D．f（x）＝|x﹣1|与f（x）＝
5．（5分）f（x）＝x2﹣2（a﹣2）x+2在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]
D．[﹣2，+∞）
6．（5分）已知函数f（x）＝ax3+cx+6，若f（x）满足f（﹣6）＝﹣6，则f（6）＝（ ） A．﹣6 7．（5分）已知A．
B．6
C．18
D．﹣18
，则f（f（﹣3））＝（ ） B．
C．
D．
，
8．（5分）已知y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减，且函数y＝f（x+1）为偶函数，设b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
9．（5分）若f是集合A＝{a，b，c}到集合B＝{0，1，2}的映射，则满足f（a）+f（b）+f（c）＝3的映射个数为（ ） A．3个
B．5个
C．6个
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D．7个
10．（5分）甲、乙两人沿同一方向前往300米外的目标B，甲前150米以2m/s的速度前进，剩下150米以3m/s的速度前进，乙前半段时间以3m/s的速度前进，后半段时间以2m/s的速度前进，则以下关于两人去往B地的路程与时间函数图象关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
为f（x）
11．（5分）对于任意函数f（x），若f（﹣x）也有意义，则称的偶部，称
为f（x）的奇部，若f（x）＝（x+1）（|x|﹣1）•，则不等
式g（x）•h（x）＞0的解为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，且对于任意实数x，均有f（f（x）+2x）＝2，设围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞） C．
B．D．
，若g（x）在其定义域上是单调函数，则实数a的取值范
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数f（x）＝
+
的定义域为 ．
14．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{a，a2}，若M∪N＝M，则实数a＝ ．
第2页（共18页）
15．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1）时，f（x）＝x2，则
＝ ．
+a（x+）+b＝0（其中a，b∈R）有实数根，则a2+b2
16．（5分）若关于x的方程x2+的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.
17．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≤16}，B＝{x|x2﹣3x﹣10≥0}． （1）求A∩B和A∪∁UB；
（2）若集合C＝{x|2x+a＞0}，且满足C∩B＝C，求实数a的取值范围． 18．（12分）已知函数
的图象经过点（﹣2，﹣2）．
（1）求得常数a后在给出的直角坐标系中画出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）＝k有两个解，求实数k的范围．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x+2）﹣f（x）＝﹣4x，且方程f（x）＝6x有两个相等的实根． （1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈[2，4]，f（x）﹣2mx＞0恒成立，求实数m的范围．
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20．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义法证明，f（x）在[0，+∞）单调递减； （3）解不等式f（t2+2t﹣6）+＞0．
．
21．（12分）某公司为帮助尚有268万元无息贷款未偿还的残疾人商铺，借出200万元将该商店改建成经营状况良好的某产品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（债务均不计利息）．已知该种产品的进价为每件400元，该店每月销售量q（百件）与每件销售价x（元）之间的关系可用图中的折线表示；若职工每人每月工资为6000元，该店每月应交付的其他费用为132000元．
（1）当每件产品的销售价为520元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在多少个月后还清所有债务？此时每件产品的价格为多少？
22．（10分）已知f（x）＝（x﹣2）|x﹣a|是定义在R上的函数．
（1）若不等式f（x）＞6的解集恰好是{x|4＜x＜5或x＞8}，求实数a的值； （2）a＞2时，方程f（x）＝k有三个相异的实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3． （ⅰ）求证：0＜4k＜（a﹣2）2； （ⅱ）求
的最小值．
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2018-2019学年福建省厦门一中高一（上）10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）如果A＝{x|x＞﹣1}，那么下列表示正确的是（ ） A．0⊆A
B．{0}∈A
C．∅∈A
D．{0}⊆A
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．
【解答】解：A＝{x|x＞﹣1}，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：{0}⊆A． 故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系，集合基本知识的应用，是基础题． 2．（5分）设A＝{x∈Z|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，则A∩B＝（ ） A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} 【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}， ∴A∩B＝{x∈Z|1＜x≤5}＝{2，3，4，5}． 故选：B．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
3．（5分）已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有（ ） A．M⊆∁UN
B．M⊇∁UN
C．∁UM＝∁UN
D．M⊆N
C．{x|2≤x≤5}
D．{x|1＜x≤5}
【分析】根据全集、补集和子集的定义，即可得出M、N之间的关系，从而作出正确的判断．
【解答】解：全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N， 所以M∩N＝∅， 所以M⊆∁UN． 故选：A．
【点评】本题考查了全集、补集和子集的定义与应用问题，是基础题． 4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．
与f（x）＝x
第5页（共18页）
B．C．
与f（x）＝x﹣1 与f（x）＝x﹣3
D．f（x）＝|x﹣1|与f（x）＝
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数． 【解答】解：对于A，f（x）＝函数；
对于B，f（x）＝不是同一函数； 对于C，f（x）＝
（x≤﹣3或x≥3），f（x）＝x﹣3（x∈R），两函数的定义域不＝x﹣1（x≠﹣1），f（x）＝x﹣1（x∈R），两函数的定义域不同，
＝|x|，f（x）＝x，两函数的对应关系不同，不是同一
同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于D，f（x）＝|x﹣1|＝
（x∈R），f（x）＝
（x∈R），
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一个函数的问题，是基础题．
5．（5分）f（x）＝x2﹣2（a﹣2）x+2在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]
D．[﹣2，+∞）
【分析】利用二次函数求单调性的方法即可求解．
【解答】由已知可得二次函数开口向上，对称轴为x＝a﹣2， 要满足题意，只需a﹣2≤2，所以a≤4， 故选：A．
【点评】本题考查了二次函数求单调性的方法，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax3+cx+6，若f（x）满足f（﹣6）＝﹣6，则f（6）＝（ ） A．﹣6
B．6
C．18
D．﹣18
【分析】根据条件建立方程关系即可． 【解答】解：∵f（x）＝ax3+cx+6， ∴f（x）﹣6＝ax3+cx，
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∵f（﹣6）＝﹣6，
∴f（﹣6）﹣6＝﹣a•63﹣6c＝﹣6﹣6＝﹣12， ∴a•63+6c＝12，
则f（6）＝a•63+6c+6＝12+6＝18， 故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件建立方程关系是解决本题的关键． 7．（5分）已知A．
，则f（f（﹣3））＝（ ） B．
C．
D．
【分析】把1﹣x看作一个整体，求f（x）的解析式，再求f（﹣3），及f（f（﹣3））即可． 【解答】解：令1﹣x＝t，∴x＝1﹣t， ∴f（t）＝f（﹣3）＝
，即f（x）＝
．
＝
．
＝；f（f（﹣3））＝f（）＝
故选：B．
【点评】本题考查了函数求值问题，换元法求解析式，或者整体法思想可求解得函数值．属于基础题．
8．（5分）已知y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减，且函数y＝f（x+1）为偶函数，设b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
，
【分析】利用函数的奇偶性，求出对称轴，利用函数的单调性求解即可． 【解答】解：∵函数y＝f（x+1）为偶函数 ∴函数y＝f（x）图象关于x＝1对称， ∴a＝
＝f（），
又y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减， ∴y＝f（x）在[1，3]上单调递增 ∴f（）＜f（2）＜f（3）， 即a＜b＜c． 故选：D．
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【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
9．（5分）若f是集合A＝{a，b，c}到集合B＝{0，1，2}的映射，则满足f（a）+f（b）+f（c）＝3的映射个数为（ ） A．3个
B．5个
C．6个
D．7个
【分析】由已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1，2，0}，映射f：A→B满足f（a）+f（b）+f（c）＝3，我们用列举法，求出所有满足条件的情况，即可得到答案． 【解答】解：∵集合A＝{a，b，c}，B＝{1，2，0}，映射f：A→B，
则记f（a），f（b），f（c）对应的函数值分别为（m，n，p），则满足条件m+n+p＝3情况共有：
（1，2，0），（1，0，2），（2，2，0），（2，0，1），（0，1，2），（0，2，1），（1，1，1）； 这样的映射共7个， 故选：D．
【点评】本题考查的知识点是映射的定义，正确理解映射的定义，按照一定的规则，对所有情况进行列举，是解答本题的关键．本题属于基础题．
10．（5分）甲、乙两人沿同一方向前往300米外的目标B，甲前150米以2m/s的速度前进，剩下150米以3m/s的速度前进，乙前半段时间以3m/s的速度前进，后半段时间以2m/s的速度前进，则以下关于两人去往B地的路程与时间函数图象关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
＝300，解之得t的值，可排除
【分析】设乙到达目标B所用的时间为ts，则
选项A和C，再比较前期甲和乙的速度（速度越大，直线越陡）可得解．
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【解答】解：设乙到达目标B所用的时间为ts，则∴乙到达目标B所用的时间为120s，排除选项A和C；
＝300，解得t＝120s，
∵甲前150米以2m/s的速度前进，乙前半段时间以3m/s的速度前进， ∴甲的速度比乙的速度慢，排除选项D， 故选：B．
【点评】本题考查用图象法表示函数，理解路程、速度和时间在函数图象上的几何意义是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 11．（5分）对于任意函数f（x），若f（﹣x）也有意义，则称的偶部，称
为f（x）
为f（x）的奇部，若f（x）＝（x+1）（|x|﹣1）•，则不等
式g（x）•h（x）＞0的解为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
【分析】由f（x）的解析式写出f（﹣x）的解析式，从而得g（x）和h（x）的解析式，再解不等式即可．
【解答】解：∵f（x）＝（x+1）（|x|﹣1）•，
∴f（﹣x）＝（﹣x+1）（|﹣x|﹣1）＝（﹣x+1）•（|x|﹣1）•， ∴
＝＝
＝|x|﹣1， ＝x（|x|﹣1），
∴不等式g（x）•h（x）＞0即为x（|x|﹣1）2＞0， 解得0＜x＜1或x＞1， 故选：C．
【点评】本题考查不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，且对于任意实数x，均有f（f（x）+2x）＝2，设围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）
B．
，若g（x）在其定义域上是单调函数，则实数a的取值范
第9页（共18页）
C． D．
【分析】利用换元法令f（x）+2x＝m，由此可得f（m）＝2，f（m）+2m＝m，计算可得m的值，从而求得函数f（x）的解析式，和g（x）的函数解析式，根据分段函数的性质及单调性即可求得a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的减函数，且对于任意实数x，均有f（f（x）+2x）＝2，
令f（x）+2x＝m，则f（m）＝2，即f（m）+2m＝m， 所以2+2m＝m，解得m＝﹣2，所以f（x）＝﹣2x﹣2， 所以g（x）＝
，
又因为g（x）在其定义域上是单调函数， 所以g（x）在R上为减函数，
所以，解得a≤﹣2或﹣1≤a≤﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的单调性，利用换元法求出函数f（x）的解析式是解本题的关键，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数f（x）＝
+
的定义域为 [﹣3，1） ．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得：
，解得：﹣3≤x＜1，
故函数的定义域是[﹣3，1）， 故答案为：[﹣3，1）．
【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 14．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{a，a2}，若M∪N＝M，则实数a＝ ﹣1 ． 【分析】推导出N⊆M，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{a，a2}，M∪N＝M，
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∴N⊆M，
∴a＝﹣1，a2＝1， 综上，实数a＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1）时，f（x）＝x2，则
＝ ﹣ ．
【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得
＝﹣f（），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝f（﹣x）， 则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数， 则
＝f（﹣+12）＝f（﹣）＝﹣f（），
＝﹣f（）＝﹣
又由当x∈[0，1）时，f（x）＝x2，则f（）＝（）2＝，则，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．
16．（5分）若关于x的方程x2+的最小值为 4 ．
【分析】由已知得关于x的方程（x+）2+a（x+）+b﹣2＝0（其中a，b∈R）有实数根，令t＝x+，得﹣2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，由此借助线性规划能求出a2+b2的最小值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+
+a（x+）+b＝0（其中a，b∈R）有实数根， +a（x+）+b＝0（其中a，b∈R）有实数根，则a2+b2
∴关于x的方程（x+）2+a（x+）+b﹣2＝0（其中a，b∈R）有实数根，
第11页（共18页）
令t＝x+，则t≤﹣2或t≥2，且f（t）＝t2+at+b﹣2，
要使f（x）＝0有实根，即使f（t）＝0在t≤﹣2或t≥2上有解． 即t2+at+b﹣2＝0在t≤﹣2或t≥2上有解．
△＝a2﹣4（b﹣2）≥0，且f（﹣2）≤0或f（2）≤0 解得﹣2a+b+2≤0或2a+b+2≤0， 画出线性规划图形（右图阴影区域）： 由题意根号下
表示原点到（a，b）距离
根据图形知，原点（0，0）到（a，b）距离最短距离为原点（0，0）到（0，﹣2）的距离，
其最小距离是dmin＝∴a2+b2的最小值为4． 故答案为：4．
＝2，
【点评】本题考查两实数平方和的最小值的求法，是中档题，解题要认真审题，注意换元法和线性规划的合理运用．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.
17．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≤16}，B＝{x|x2﹣3x﹣10≥0}． （1）求A∩B和A∪∁UB；
（2）若集合C＝{x|2x+a＞0}，且满足C∩B＝C，求实数a的取值范围． 【分析】（1）化简集合B，A，根据交集与补集、并集的定义进行计算即可； （2）化简集合C，根据并集的定义得出不等式﹣＜2，从而求出a的取值范围．
第12页（共18页）
【解答】解：集合U＝R，A＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|2x2﹣3x﹣10≥0}＝{x|x≥5或x≤﹣2}；
（1）A∩B＝{x|4≤x≤﹣2}， ∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞5}， ∴（∁UB）∪A＝{x|x≤4或x＞5}； （2）集合C＝{x|2x+a＞0}＝{x|x＞﹣}， 且C∩B＝C， ∴﹣≥5， 解得a≤﹣10，
∴实数a的取值范围是a≤﹣10．
【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题． 18．（12分）已知函数
的图象经过点（﹣2，﹣2）．
（1）求得常数a后在给出的直角坐标系中画出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）＝k有两个解，求实数k的范围．
【分析】（1）求出a的值代入函数解析式，根据解析式画出函数图象，写出单调区间，（2）根据图象，平移直线即可求解．
【解答】解：（1）代入（﹣2，﹣2），解得a＝﹣1，则f（x）＝
，
第13页（共18页）
如图所示：
根据图象函数的增区间为（﹣1，1），减区间为（﹣4，﹣1），（1，2）； （2）根据图象可得k的取值范围为：k∈（﹣3，0）∪（0，1）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性以及图象问题，考查了学生对图象的掌握熟练度，属于基础题．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x+2）﹣f（x）＝﹣4x，且方程f（x）＝6x有两个相等的实根． （1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈[2，4]，f（x）﹣2mx＞0恒成立，求实数m的范围． 【分析】（1）代入联立解方程组即可；
（2）参数分离法，分离出2m，恒成立问题，求出g（x）最小值即可． 【解答】解：（1）∵f（x）＝ax2+bx+c， ∴f（x+2）﹣f（x）
＝a（x+2）2+b（x+2）+c﹣ax2﹣bx﹣c ＝4ax+4a+2b ＝﹣4x，
∴4a＝﹣4，4a+2b＝0，解得：a＝﹣1，b＝2， 又f（x）＝6x有等根， 即x2+4x﹣c＝0有等根，
∴△＝16+4c＝0，解得：c＝﹣4， ∴f（x）＝﹣x2+2x﹣4；
（2）由（1）f（x）＝﹣x2+2x﹣4，对于任意的x∈[2，4]，f（x）﹣2mx＞0恒成立
第14页（共18页）
代入化简得：2m，
设g（x）＝﹣x﹣+2，x∈[2，4]函数递减，g（x）的最小值为g（4）＝﹣3， 则由2m＜g（x）min＝g（4）＝﹣3， m＜
．
【点评】考查求二次函数解析式，和恒成立问题，用了参数分离法，中档题． 20．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义法证明，f（x）在[0，+∞）单调递减； （3）解不等式f（t2+2t﹣6）+＞0．
【分析】（1）利用分段函数以及奇函数的性质求解析式，（2）利用单调性定义证明，（3）利用奇函数的性质得出函数在R上的单调性，进而可以求解不等式． 【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0， ∴f（﹣x）＝
，
，
．
又f（x）是奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣而f（0）＝0适合上式，
∴f（x）的解析式为：f（x）＝，
（2）证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0（x2+1）＞0， ∴
，
﹣（﹣
）＝
，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递减；
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（3）由函数的解析式可知f（1）＝﹣， 而不等式可化为f（t2+2t﹣6）＞﹣， ∴f（t2+2t﹣6）＞f（1），
又由（2）可得函数f（x）在R上单调递减， ∴t2+2t﹣6＜1，解得﹣1﹣2所以不等式的解集为（﹣1﹣2
＜t＜﹣1+2，﹣1+2
， ）．
【点评】本题考查了函数解析式的求法以及单调性的证明，利用奇函数的单调性求解不等式问题，属于中档题．
21．（12分）某公司为帮助尚有268万元无息贷款未偿还的残疾人商铺，借出200万元将该商店改建成经营状况良好的某产品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（债务均不计利息）．已知该种产品的进价为每件400元，该店每月销售量q（百件）与每件销售价x（元）之间的关系可用图中的折线表示；若职工每人每月工资为6000元，该店每月应交付的其他费用为132000元．
（1）当每件产品的销售价为520元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在多少个月后还清所有债务？此时每件产品的价格为多少？
【分析】（1）依题意，当40≤x≤58时，x、q的关系为：﹣0.2x+140＝q，据此当x＝520时，可求得q，设此时该店的职工人数为m，利用该店正好收支平衡可求得该店的职工人数；
（2）由图可得q与x的关系式q＝
，设该店月收入为S，
对x分①当400≤x≤580与②580＜x≤810时求得各自的最大收入，比较后可得答案． 【解答】解：（1）由图可知：当400≤x≤580时，设q＝kx+b， 由x＝400时，q＝60；x＝580时，q＝24，
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可得，解得，
则x、q的关系为q＝﹣0.2x+140； 当x＝520时，q＝36． 设此时该店的职工人数为m，
则3600（520﹣400）＝6000m+132000， 解得m＝50，即该店的职工人数为50人； （2）由图可知：q＝设该店月收入为S， 则①当400≤x≤580时，
S1＝100（x﹣400）（﹣0.2x+140）﹣132000﹣6000×40＝﹣20（x﹣550）2+78000， 即当x＝550时，最大月收入S1＝78000． ②当580＜x≤810时，
S2＝100（x﹣400）（﹣0.1x+82）﹣132000﹣6000×40＝﹣10（x﹣610）2+69000， 即当x＝610时，最大月收入S2＝69000．
由于S1＞S2，故当x＝550时，还清所有债务的时间t最短，且t＝（268+200）×10000÷12S1＝5，
即当每件消费品的价格定为550元时，该店可在最短60个月内还清债务．
【点评】本题考查分段函数的应用，突出考查二次函数的最值，考查配方法，考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．
22．（10分）已知f（x）＝（x﹣2）|x﹣a|是定义在R上的函数．
（1）若不等式f（x）＞6的解集恰好是{x|4＜x＜5或x＞8}，求实数a的值； （2）a＞2时，方程f（x）＝k有三个相异的实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3． （ⅰ）求证：0＜4k＜（a﹣2）2； （ⅱ）求
的最小值．
，
【分析】（1）利用不等式解集的端点值就是对应方程的根，可直接求解；
（2）（ⅰ）由方程f（x）＝k有三个相异的实根，可以求出k的取值范围，进而证明不等式；
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（ⅱ）由（ⅰ）可知，设a＝x2﹣x1，b＝x3﹣x2，c＝x3﹣x1，可以将所求不等式转换成关于的二次函数，求出的范围，进而可求出最小值．
【解答】解：（1）由不等式f（x）＞6的解集恰好是{x|4＜x＜5或x＞8}，可知，4，5，8为方程f（x）＝6的根，可得
，解得，a＝7；
（2）a＞2可得，，即f（x）的图象如图：
x＜a时，f（x）的对称轴方程为x＝此时f（x）的最大值在对称轴处取得，为
，
（ⅰ）方程f（x）＝k有三个相异的实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，由图象可知，0＜k＜
，
∴0＜4k＜（a﹣2）2；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，设a＝x2﹣x1，b＝x3﹣x2，c＝x3﹣x1，所以
＝＝＝，
由（ⅰ）知，∴
＝
，
∈
∴最小值为﹣．
【点评】本题考查了分段函数的性质，不等式的解集与应方程的关系，属于难题．
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