北京市房山区2020-2021学年高二上学期期末检测数学试题 含答案

房山区2020-2021学年度第一学期期末检测试卷

高二数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知点M(1,1),N(2,5)，则线段MN的中点坐标为

（A）(3,4) （C）(1,6)

321（D）(,3)

2（B）(,2)

（2）圆心为(1,2)，半径为5的圆的方程为

（A）(x1)(y2)5 （C）(x1)(y2)25

（3）已知直线l1:xay70和l2:(a2)x3y10互相平行，则

（A）a3

（C）a1或a3

（B）a1 （D）a1或a3

2222（B）(x1)(y2)5 （D）(x+1)(y2)25

2222

（4）下列双曲线中以y2x为渐近线的是

y2（A）x1

42y2（B）x1

22x2（C）y1

42x2（D）y1

224（5）在(x2)的展开式中，x的系数为

（A）5 （C）10

（B）5 （D）10

5 1

（6）已知某种药物对某种疾病的治愈率为

3，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者 49 643（D）

4（B）

是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为

27 643（C）

64（A）

x2x2y221有相同的焦点，则a （7）已知双曲线2y1(a0)与椭圆

a83（A）6 （C）2

22（B）23 （D）4

（8）已知圆O:xy4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的

中点P的轨迹方程为

x2（A）y21

4x2y2（C）1

164

y2（B）x+1

42x2y2（D）1

41622（9）已知直线l：kxy1k0和圆C：xy4x0，则直线l与圆C的位置关系为

（A）相交 （C）相离

（B）相切 （D）不能确定

（10）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点．

给出下面四个命题：

①直线EF与直线AC平行；

②若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交； ③直线EF到平面ABCD的距离为定值； ④直线AF与直线CE所成角的最大值是其中，真命题的个数是 （A）1

（B）2

（C）3

（D）4

． 3 2

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有____种.

（用数字作答） （12）设随机变量的分布列为：

 p 0 1 21 1 32 m 则m____；随机变量的数学期望E____.

（13）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示. 男生 女生 有参加滑雪运动打算 无参加滑雪运动打算 8 10 10 12 从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为____；

若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为____.

（14）设抛物线x8y的焦点为F，点M(x0,3)在抛物线上. 则抛物线的准线方程为____；

2MF____.

x2y21(mn0).给出下列四个命题： （15）已知曲线C:mn①曲线C过坐标原点；

②若mn0，则C是圆，其半径为m；

③若mn0，则C是椭圆，其焦点在x轴上； ④若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y其中所有真命题的序号是 ．

nx. m 3

三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题12分）

已知直线l过点(0,3)，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线l的方程.

条件①：直线l经过直线l1:xy10与 l2:2xy40的交点； 条件②：直线l与圆xy3相切；

条件③：直线l与坐标轴围成的三角形的面积为3．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题12分）

已知点A(1,2)在抛物线y2px(p0)上，过点A且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为B. （Ⅰ）求

222p的值和抛物线的焦点坐标；

AB.

（Ⅱ）求弦长

（18）（本小题12分）

袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率；

（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率.

4

（19）（本小题13分）

某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：

顾客年龄 使用人数 未使用人数 20岁以下 5 0 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70岁以上 10 0 18 2 8 12 4 36 2 3 0 0 （Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用这款APP的概率；

（Ⅱ）从被抽取的年龄在[50,70]且使用这款APP的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000 人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.

（20）（本小题13分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB2，

E为PD中点.

（Ⅰ）求证：BD平面PAC； （Ⅱ）求二面角PACE的余弦值；

（21）（本小题13分）

3x2y2已知椭圆C:221(ab0)的离心率为,且经过点A(2,0).

2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）不过点A的直线l与椭圆交于P,Q两点，以线段PQ为直径的圆经过点A，证明：直线l过定点.

5

房山区2020-2021学年度第一学期期末检测参考答案

高二年级 数学学科

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A D B C A A B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（第一空3分，第二空2分）

（11）24（12）1 6,2143； （13）5,9；

（14）y2,5 （15） ③④（错选0分，漏选3分）

三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题12分）

选择条件①：

解方程组xy10， 得x1，2xy40 ……………………………4

y2.

则直线l的斜率为k32015， ……………………………8 所以直线l的方程为y5x3，即5xy30.………………………12 选择条件②：

设直线l的方程为ykx3（显然直线l的斜率存在），即kxy30. 圆x2y23的圆心为(0,0)，半径为3. ……………………………4

因为 直线l与圆x2y23相切, 所以 3k213 .

解得k2. ……………………………8

所以直线l的方程为y2x3，即2xy30. ………………12 选择条件③：

设直线l的方程为ykx3（显然直线l不与坐标轴平行），…………………1

令y0 得x3k.

6

则 S1333.……………………………4

2k解得k3. ……………………………8 233yx3xy30.………………………12 所以直线l的方程为，即，

22（17）（本小题12分）

（Ⅰ）由点A(1,2)在抛物线y2px(p0)上，得p2.…………………………2

所以抛物线的方程为y4x，焦点坐标为(1,0). ……………………………5 （Ⅱ）直线AB的方程为 y22(x1) ，即y2x4， ……………………7

22y24x，x1，x4，解方程组 得 或 ……………………9

y2.y4.y2x4

所以点B的坐标为(4,4).

所以 AB(14)(24)35. ………………………………12 （18）（本小题12分）

设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球， 则事件A：第一次摸到白球.

（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种,

所以 P(A)223. ……………………4 10 （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下,剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸

一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以 P(B|A)2. ……………………8 932733.……………………12 10910910（Ⅲ）P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)所以第二次摸到红球的概率P(B)3. 10 7

（19）（本小题13分）

（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30, 50)且未使用这款APP的共有2+12=14人，

所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30, 50)且未使用这款APP的概率为

P147． ……………………2 10050（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，则

2112P(X0)C21C4C28C46C2, P(X1)2, P(X2)2 .………8 615C615C615所以X的分布列为

X 0 1 2 P 1 8 6

151515……………………………9

故X的数学期望为

01151815264 …………………………11EX 153（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有5101884247人，该机构至少应准备张代金券的张数估计为:

4710060002820张. ………………………………13

（20）（本小题13分）

（Ⅰ）因为 PA平面ABCD，AB,AD平面ABCD， 所以 PAAB,PAAD.

因为底面ABCD为正方形，所以 ABAD.

如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系

…………………………………………1

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

AP(0,0,2),AC(2,2,0),BD(2,2,0).

因为APBD(0,0,2)(2,2,0)0，ACBD(2,2,0)(2,2,0)0，

所以

8

所以APBD,ACBD. ………………………………2 又APAC=A， ………………………………3

所以BD平面PAC. …………………………………………4 （Ⅱ）因为 E为PD中点， 所以E(0,1,1)，AE(0,1,1).

设平面EAC的法向量为n(x,y,z)，

则ACn0，2x2y0，AEn0， 即yz0. 令y1，则n(1,1,1).……………………………8 由（Ⅰ）知，BD为平面PAC的法向量, …………10 所以cosn,BDnBDnBD432263. ……………………12 由题知，二面角PACE为锐角，所以其余弦值为63.…………13

（21）.（本小题13分）

（Ⅰ）由椭圆离心率为

32,且经过点A(2,0) ,可知ec3a2,a2.…………2 所以 c3. 所以 b2a2c2431. ………………………………3

所以椭圆C的方程为x24y21. ……………………………………4 （Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，

x2 由4y21， 得 (14k2)x28kmx4m240.……………………6

ykxm=(8km)24(14k2)(4m24)0.

9

8km4m24设P(x1,y1),Q(x2,y2)， 则x1+x2=14k2,x1x2=14k2.…………8 因为以线段PQ为直径的圆经过点A ，

所以APAQ . 所以 APAQ0. ………………………………9

AP(x12,y1)AQ(x22,y2)

APAQ(x12)(x22)y1y2(x12)(x22)(kx1m)(kx2m)x1x22(x1x22)4kx1x2km(x1x2)m2 (1k2)x1x2(km2)(x1x2)m24(1k2)4m2414k2(km2)8km14k2m24由 APAQ0，整理得 5m216km12k20.

解得 m65k 或 m2k（都满足0）. 所以 yk(x65) 或 yk(x2). ………………………………10

因为直线l不过点A(2,0)，

所以直线l过定点(65，0) . …………………………………………11 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xx0(2x02)，

2则P(xx0,y0),Q(x0,y20)，y0104.

APAQ(x02)(x02)y20x2(1x2004x044)

54x204x030解得 x605 或 x02（舍）. 综上 直线l过定点(65，0) . …………………………………………13

备注：解答题只提供一种解法，其他解法请仿此标准给分。

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