二维随机变量分布的求法

２　０　０　２年２月　安庆师慧学院学报（由壁科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ＡｎｑＩｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｌｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｆｅｂ．２００２　Ｖｏｌ　８　ＮＯ　１　第８卷第１期　比　行　列　式　，　一　二维随机变量分布的求法　张摘血　海，叶仁玉　（安庶师范学院撖学计算机暮，　安徽安庆　Ｚ４６０１］）　要一着眼于二维随机变量在实际和学习中的广泛应用．本文总结了求二维随机变量分　纽　贝　布的常用方法，占ｋ理论上解决了一些实践中遇到的问题。　关键词：分布函数法；公式法Ｉ特征函数法｜数学期望法；特殊性质法　中圉分类号：０２］１．５　文献标识码一Ａ　文章编号｝］００７－－４２６０（２００８）０］－－００５１—０ｚ　二　维　随　机　向　量　通过一维随机变量分布求法，我们来考虑两个Ｒ．Ｖ．（｝，　）的联合分布密度或随机向量经过某变换　后的分布。求二维Ｒ．Ｖ．（｝，　）的分布无论在理论上或实际中都有重要的意义。本文总结了５种求法：①　Ｕ　分布函数法，②公式法，③特征函数法，①数学期望法，⑤特殊性质法。　１）分布函数法（基未方珐）：通过建立Ｒ．Ｖ．（｝，　）与它的变换函数（ｘ，ｙ）的关系来求Ｒ．Ｖ．（　．ｙ）　＝　，　的分布，即先求出Ｒ．Ｖ．（　ｔｙ）的分布出数Ｆ（Ｘ，ｙ）＝Ｐ（（　，ｙ）∈Ｇ）＝　』ｌ户　，ｙ）ｄｘｄｙ，（声（ｚ．　）　（　∈Ｇ　们　，　为Ｒ．Ｖ．（｝．ｒ１）的联合分布密度）．然后再对其分布函数求导得其密度函数。我们可用分布函数求得常见　的两个随机变量的函数分布。　们　例如：　＋　一ｌ　户　ｔ２一ｘ）ｄｘ—ｌ　户（２一　，　）ｄｙ；　一　一ｌ　声（　，ｚ一２）ｄｘ；　肓　｝／　一Ｊ～ｐ‘ｙ　，　）ｌｙｌ　；｝×　一Ｊ—Ｐ（Ｙ，；　Ｔ　当｝，　相互独立，上述联合分布可表示为两个相应的边际密度的乘积。　２）公式法：已知二维Ｒ．Ｖ．（　．　）的密度函数为ｐ（ｘ，　）．设二元函数“一ｆ　０，　），　一＾　，　），且　密　度　函　数　为　满足①存在唯一反函数｛、　；　芝　ｔ＝ｇ　Ｌ　，　Ｊ　即存在方程｛ｌ　＝，＾ｆｌ２　（Ｌｘｚ　，　ｙ；（，　＊）的唯一实值解　“，　），　。（　，　）；②　扛，　），＾　，　），ｇ　（“，　），ｇ２（“，　）都连续；③存在连续的偏导数　．　，警．　，且Ｊ表示雅可　‘　ｆ声（ｇ１（“，ｖ）ｇｚ（　，　））ＩＪＩ　，口使（＊）有解　ｏ　“，　使（　）无解　利用分布函数法可以证明公式法，同时可　得（１）中的四个公式，　及Ｆ（ｍ，ｎ）分布和丁（ｎ）分布。　例１　设｝和　相互独立，且均服从相同的柯西分布，即　）＝　（１＋　）　（　）一　ｈ　∈Ｒ），求Ｕ一号（　＋ｒ／）的分布。　解ｐ　（　）一ｌ　ｐｒ（ｚ）ｐ　（　一　）ｄ　一』：：　＿＝　了　丌　（　＋４）　仁ｃＪ～　＋　　１一　１嵩＋（　一ｚ）０　Ｊ　·收稿日期；２００１—０８—３０　修订日期Ｉ　２００１－－０９－－Ｚ７　¨作者简介：￣（１９７７一），男，安徽桐城＾．安庆师范学院数学计算机系教师，从事高等数学教学及研究工怍　维普资讯 http://www.cqvip.com

·５２·　安庆师范学院学报（自然科学版）　２００２钽　＝　—干　［　“（１＋　）＋ｙａｒｃｔａｉ３．ｘ～Ｉｎ（　一ｙ）　＋１）＋ｙａｒｃｔａｎ（ｘ—ｙ）］　＝　｝　Ｙ∈Ｒ　又Ｕ一吉（ｒ＋７／）严格单调上升函数，反函数可导，故加（　）一　４　一　（　∈Ｒ）　３）特征函数法：利用Ｒ．　．（；，　）的特征函数性质，求变换后Ｒ．Ｖ．（ｕ，　）的特征函数，再由逆转公　式求出Ｒ·　．（ｕ，　）分布函数　（此方法在证明题中作用很大）　例２　设ｒ和　相互独立，且均服从相同的柯西分布，即Ｐｒ（　）一　，　（　）一　，ｙ∈Ｒ，证明Ｕ一言（ｒ＋　）也服从同一柯西分布。　证明目为　ｃ　，一　ｏ）一『＝：　南ｄｘ一　：　辈　ａｚ—　－－，　故　一ｅ　，从而　ｃ　∞一ｅ　一ｅ　，Ｕ一寺（；　）也服从同一柯西分布。　４）数学期望法：若对任意二元有界连续函数ｆ（ｘ，ｙ）有Ｅｆ（Ｘ，　）一ｌ　ｌ　ｆ（ｘ，Ｙ）Ｐ　，ｙ）ｄｘｄ　，　则Ｐ　，　）必为（　，　）联合密度函数。　对于例１可以用数学期望法求辑如下　解　对任意二元有界连续函数，，有：Ｅｆ（兰—；　）一ｒ　ｒ　，（兰—　）　（　）　（　）ｄｘｄ　，作变换“一　Ｅｆ（　）一ｒｒ２，（　）ｐｒ（ｚ）ｐ，（２　一　）ｄ　ｄ　“　一』：：。　ｍ　一州ｚ一　』：：［等｝　一　兰＿＿　［。“（１＋　。）＋２　“　一　“（（　一２“）。土１）＋２ｕａｒｃｔａｎ（　一２“）］Ｉ　一　ｌ　一一　丁　“ｔ“　５）特殊性质法：此法充分利用某些分布的再生性或可加性、独立性，使得问题简化　常见可加性分　布有：　普阿松（Ｐｏｌｓｓｏｎ）分布　Ｐ（　１）＋Ｐ（＾２）一Ｐ（　＋　）｝　二项分布　Ｂ（ｎ，户）＊Ｂ　，ｐ）一Ｂ　＋ｍ，声）；　正态分布　）＊　）＝ｚ。　＋ｍ）；　伽马（Ｇａｍｍａ）分布　Ｕ（ｂ，Ｐ１）＊ｒ（　，Ｐ：）＝Ｆ（ｂ，Ｐｌ＋越）；　柯西（Ｃａｕｃｈｙ）分布　Ｃ（＾　，　Ｉ）＋Ｃ（２２，　｝）一Ｃ（　Ｔ＋　＋　）　注：Ｆ　＊Ｆ　为卷积。　综上所述，求二维随机变量分布的方法有多种，解题时固题制宜，灵活处理。　［参考文献］　［１］王梓坤概牢论基础及其应用［Ｍ］．北京：北京师范太学出版社，１９９６　［ｚ］韩普宪概率论与数理统计常用方法［Ｍ］重庆：重庆太学出版这·１９９６　［３＿魏宗舒．概率论与拽理统计教程［Ｍ］．北京ｔ高等教育出版社，１９９７．　［４３　Ｗ．费勒．概率论及其应用［Ｍ］．北京：科学技术出Ｊ跬社，１９８０．　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ＺＨＡＮＧ　Ｈａｉ，ＹＥ　Ｒｅｎ—ｙｕ　（Ｔｈｅ　Ｍａｔｈ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｄｅｐｔ．ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｑｉｎｇ　８４６０１１，Ｃｈｔｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｉｔ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ，ａｌｌｏｗｉｎｇ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｗｉｄｅ—ｒａｎｇｉｎｇ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎ—　ｓｉｏｎａｌ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ，ｓｕｍｍａｒｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍａｒｔｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ￣ｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ａｎｄ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｍａｎｙ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ　ｐｒａｃｔｉｃａｌｌｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ｝ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｏｒｍｕ［ａｉｅｍｅｔｈｏｄ｝ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｅｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ￣　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ；ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｅｓｐｅｃｉａｌ　ｑｕａ［ｉｔｙ