椭圆函数

椭圆函数和相关函数

二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此，三角函数能 被定义为从这些积分获得的函数的反函数.

类似地，椭圆函数被定义为从椭圆积分获得的函数的反函数.

雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitude[u, m] 是第一类椭圆积分的反函数， 如果 ，那么 .

.

.雅可比椭圆函数 JacobiSN[u, m], JacobiCN[u, m]. 此外 JacobiDN[u, m]

给出.

总共有 12 个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u, m] 中选取. 每个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u, m] . 雅可比椭圆函数之间有许多关系，在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上，在极限情形，雅可比椭圆函数化为三角函数. 例如 , , , ,

, . 符号

常用于积分

. 这些积分能用上面定义的雅可比 函数来表示.

这里显示了雅可比椭圆函数数

的绝对值在每个方向上的两个完全周

In[1]:=

Out[1]=

Mathematica 还建立了反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v, m],InverseJacobiCN[v, m] 等. 反函数反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.

从 EllipticTheta[a, u, q]中分别取 a 为 1，2，3，4 得到四个 函数. 其定义为：

,

,

关于 u 的解.

,

明显写出，而写为

. 有时也写为

. 函数的参数 q 常常不

，其中 m 与 q 有关系 ：

. 所有

. 另外 q 有时用 代替， 与 q 的关系为

函数满足扩散类微分方程 示为 函数的比. 函数的另一种记号是

,.

,

,

,其中

. 雅可比椭圆函数可以表

Neville 函数可以由 函数来定义：

,

其中

外尔斯特拉斯椭圆函数 WeierstrassPrime[u, 的反函数. 外尔斯特拉斯函数 解. 函数 WeierstrassPPrime[u,

, 给出 ] 由

,

] 可以认为是椭圆积分

关于 x 的

给出.

来表示， 和

和

中获得.

,

,

,

. 雅可比椭圆函数可以被表示为 Neville 函数的比.

外尔斯特拉斯椭圆函数的导数有时根据其基本半周期 和 可以通过使用 WeierstrassHalfPrime[u, 函数 InverseWeierstrassP[p,

,

,

]从不变量

]给出 关于 u 的两个解

中的一个. 该值总是位于由半周期 和 InverseWeierstrassP[p, q,

,

定义的平行四边形之内. ]给出

和

.

的

唯一解 u. 要使这样的u值存在， p 和 q 必须满足 外尔斯特拉斯 函数 WeierstrassZeta[u, WeierstrassSigma[u,

,

,

,

] 和外尔斯特拉斯 函数

]与外尔斯特拉斯椭圆函数的关系是：

.

外尔斯特拉斯 和 函数不是严格的椭圆函数，因为它们不是周期的

椭圆模函数

椭圆模函数

模函数 ModularLambda[]相联系.

克莱因不变模函数 KleinInvariantJ[] 与戴德金函数 DedekindEta[]. 模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如，

的组合下 的不变量.