课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logbx的图象可能是
x
解析 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，且a＞0，b＞0， 当a＞1时，0＜b＜1，可排除A、B； 当0＜a＜1时，b＞1，可排除C，故选D. 答案 D
x2．(2012·大连模拟)a是f(x)＝2－log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足
2A．f(x0)＝0 C．f(x0)＞0
x
B．f(x0)＜0
D．f(x0)的符号不确定
解析 函数f(x)＝2＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即f(x0)＜0.
答案 B
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 解析 ∵a＝log23.6＝log43.6＝log412.96， 又∵y＝log4x(x＞0)是单调递增函数， 而3.2＜3.6＜12.96， ∴a＞c＞b. 答案 B
2， x≤1，
4．设函数f(x)＝
1－log2x， x＞1，
1－x2
则满足f(x)≤2的x的取值范围是
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
A．[－1,2] B．[0,2]
1－x
解析 当x≤1时，2≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
1
当x＞1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x＞1.
2
综上可知x≥0. 答案 D
5．(2012·青岛模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N＋)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：
11x3
①f(x)＝x＋(x＞0)；②g(x)＝x；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
x3其中是一阶整点函数的是
A．①②③④ B．①③④ C．④
D．①④
1
解析 ①f(x)＝x＋，(x＞0)，当x＝1时，f(1)＝2，
x1
当x∈(1，＋∞)，若x∈Z，则∉Z，同理可知当x∈(0,1)时，也不存在整点．
x1
∴f(x)＝x＋(x＞0)是一阶整点函数；
x②g(x)＝x，∵g(0)＝0，g(1)＝1，…，∴f(x)＝x不是一阶整点函数；
33
1x③h(x)＝，∵h(－1)＝3，h(0)＝1，…，
31x∴h(x)＝不是一阶整点函数；
3
④φ(x)＝ln x，∵φ(1)＝0，∴φ(x)是一阶整点函数． 答案 D
1，x≠2，
6．(2012·盘锦模拟)设定义在R上的函数f(x)＝|x－2|
1， x＝2，
若关于x的方程
f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是
A．x1＋x2＋x3＝14 C．a－4b＝0
解析 作出函数f(x)的图象，令t＝f(x)， 则方程f(x)＋af(x)＋b＝0化为t＋at＋b＝0， ∵t＝f(x)＞0，故要使原方程有3个不同的实数解， 则需方程t＋at＋b＝0的根，t1＝t2＝1或t1＝1，t2≤0，
22
2
22
2
2
B．1＋a＋b＝0 D．x1＋x3＝4
Δ＝a－4b＞02
故Δ＝a－4b＝0或
b≤0
2
，故C错误．
令f(x)＝1，易得x1＝1，x2＝2，x3＝3， 所以A、B、D皆正确． 答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
1x7．函数y＝－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值为________．
3
1x解析 函数y＝－log2(x＋2)在[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值为f(－
3
1)＝3.
答案 3
8．(2012·广州二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析 当x≤20时，y＝32x－x－100， 当x＞20时，y＝260－x－100＝160－x，
－x＋32x－100，0＜x≤20，x∈N＋，∴y＝
160－x， x＞20，x∈N＋.
2
2
2
当x∈(0,20]时，x＝16，ymax＝156万元； 当x∈(20，＋∞)时，y＜160－20＝140万元； 故当x＝16时，所得年利润最大．
－x＋32x－100，0＜x≤20，x∈N＋，答案 y＝
160－x， x＞20，x∈N＋.
2
16
9．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y万元与销量x之间的函数关系， y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，
(1)当销量x________时，该公司赢利； (2)当销量x________时，该公司亏损．
①x＞a ②x＜a ③x≥a ④0≤x＜a
解析 现实生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．根据实际情况，当销售收入f(x)大于销售成本g(x)时，公司赢利；当销售收入f(x)小于销售成本g(x)时，公司亏损．
答案 (1)① (2)④
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．已知函数f(x)＝ax＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，ax＋bx＋c≤0的解集为R?
解析 由题意知f(x)的图象是开口向下，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)的抛物线，对1
称轴方程为x＝－(如图)．
2
那么，当x＝－3和x＝2时， 有y＝0，代入原式得：
0＝a－20＝a×2＋
2
2
2
＋b－－－a－ab.
－a－ab，
b－
解得
a＝0，b＝8，
2
或
a＝－3，b＝5.
经检验知
a＝0，b＝8，
不符合题意，舍去．
∴f(x)＝－3x－3x＋18.
(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， 所以，当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g(x)＝－3x＋5x＋c， 要使g(x)≤0的解集为R.
则需要方程－3x＋5x＋c＝0的判别式Δ≤0， 25即Δ＝25＋12c≤0，解得c≤－.
12252
∴当c≤－时，ax＋bx＋c≤0的解集为R.
12
11．已知函数f(x)＝e－e(x∈R且e为自然对数的底数)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x－t)≥0对一切x是否都成立？若存在，求
2
2
22
x－x出t；若不存在，请说明理由．
解析 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－e＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
由于f′(x)＝e＋e＞0恒成立， 所以f(x)是R上的增函数．
(2)不等式f(x－t)＋f(x－t)≥0可化为
2
2
－xxx－xf(x－t)≥－f(x2－t2)，即f(x－t)≥f(－x2＋t2)，
又f(x)是R上的增函数， 所以上式等价于x－t≥－x＋t， 即x＋x－t－t≥0恒成立， 故有Δ＝1－4(－t－t)≤0， 12
即(2t＋1)≤0，所以t＝－.
21
综上所述，存在t＝－，
2
使不等式f(x－t)＋f(x－t)≥0对一切x都成立．
12．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解析 (1)当0＜x≤100时，p＝60； 当100＜x≤600时，
2
2
2
2
2
2
2
p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
60， 0＜x≤100，∴p＝
62－0.02x， 100＜x≤600.
(2)设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x； 当100＜x≤600时，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
20x， 0＜x≤100，∴y＝2
22x－0.02x， 100＜x≤600.
当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000； 当100＜x≤600时，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050. 显然6 050＞2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
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