ln xae1
(2020·南昌调研)已知函数f(x)＝1－x，g(x)＝ex＋x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直. (1)求a，b的值；
2
(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥x. ln x
(1)解 因为f(x)＝1－x，
ln x－1
所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
x2ae1
因为g(x)＝ex＋x－bx，
ae1
所以g′(x)＝－ex－x2－b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1.
从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1. 解得a＝b＝－1.
e1
(2)证明 由(1)知，g(x)＝－ex＋x＋x，
2ln xe1
则f(x)＋g(x)≥x⇔1－x－ex－x＋x≥0.
ln xe1
令h(x)＝1－x－ex－x＋x(x≥1)，
1－ln xe1ln xe
则h(1)＝0，h′(x)＝－x2＋ex＋x2＋1＝x2＋ex＋1.
ln xe
因为x≥1，所以h′(x)＝x2＋ex＋1>0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
ln xe1
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－x－ex－x＋x≥0.
2
故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥x.
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