2019春江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 推理“①圆内接四边形的对角和为180°；②等腰梯形ABCD是圆内接四边形；
③A+C=180°”中的小前提是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 2. 复数z= 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
x y -8 -11 B. 第二象限
-4 -6 2 -2 C. 第三象限
4 -1 D. 第四象限
8 2 3. 将两个随机变量x，y之间的相关数据统计如表所示： 根据上述数据，得到的回归直线方程为，则可以判断（ ）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
4. 下面是利用数学归纳法证明不等式 ＜n2（n≥2，
*
且n∈N）的部分过程： “……
2
假设当n=k（k≥2）时， ＜k，故当n=k+1时，有_____，
因为2 = ＜_____，
2
故 + ）＜（k+1）， ……”
则横线处应该填（ ）
A. ,
B.
C. ,
D. 5. 若随机变量ξ服从正态分布N（4，9），则P（1＜ξ≤13）=（ ）
2
参考数据：若ξ～N（μ，δ），则P（μ-δ＜ξ＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜ξ＜μ+2δ）=0.9544，P（μ-3δ＜ξ＜μ+3δ）=0.9974 A. B. C. D. 6. =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（ ）种不同的站法． A. 1920 B. 960 C. 1440 D. 720
8. 小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获
胜．已知小红投篮命中的概率为 ，小明投篮命中的概率为 ，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（ ）
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A.
B.
C.
D.
9. 某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随
机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为x，则E（X）=（ ）
A. 2
10. 设函数f（x）=
B.
C.
D.
（e为自然对数的底数）在（ ，2）上单调递增，则实数m
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：
13=1， 23=3+5， 33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…，
3
根据上述规律，17的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A. 71 B. 75 C. 83 D. 88
12. 定义在R上的函数f（x）满足f'（x）-f（x）＜2ex（e为自然对数的底数），其中f'
（x）为f（x）的导函数，若f（2）=4e，则
2
＞ 的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若实数m，n满足i2021•（4+mi）=（n+2i）2，且z=m+ni，则|z|=______．
14. 已知函数f（x）=x2+ln（3x-2），则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为______
15. 在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数a，将a分别除以3，5，
7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数b，例如，a=22时，b=121；a=33时，b=035．若b=140，则a=______
16. 为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在
校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有______种（用数字作答） 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设（2-2x+3x2）4=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．
（Ⅰ）求a0的值；
（Ⅱ）求a0+a4+a6+a8的值．
18. 我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的
枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：
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枇杷上市时间（第x天） 9 卖出枇杷数量（y斤） 30 结合散点图可知，x，y线性相关． （Ⅰ）求y关于x的线性回归方程
11 32 14 36 16 42 15 40 （其中，用假分数表示）；
（Ⅱ）计算相关系数r，并说明（I）中线性回归模型的拟合效果． 参考数据： ； 参考公式：回归直线方程
中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，，；相关系数r= ；
19. 完成下列证明：
（Ⅰ）求证：|x-2y|≥ ；
（Ⅱ）若m＞ ，求证：
20. 对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计
如表所示：
内径（nm） [20，22） [22，24） [24，26） [26，28） [28，30） [30，32） [32，34] 产品个数 4 28 36 60 46 20 6 （Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在[26，28）的产品个数为X，X的分布列及数学期望E（X）；
（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．
甲机器生产 乙机器生产 总计
内径小于28mm ______ 60 ______
内径不小于28mm 32 ______ ______ 总计 ______ ______ ______ 参考公式： ，（其中n=a+b+c+d为样本容量）．
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P（K2≥k） k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
x2
21. 已知函数f（x）=（x-mx）e（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
x
（Ⅱ）若m=2，2n+1≥0，证明：关于x的不等式nf（x）+1≥e在（-∞，0]上恒成立． 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
，（0为参数．在以
原点O为极点，为参数）．在以原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ= ．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设A（2，1），直线l与曲线C交于M，N两点，求|AM|•|AN|的值．
23. 已知函数f（x）=|2x+3|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞m-|3x-6|在R上恒成立，求实数m的取值范围，
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论， 故选：B．
由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论． 本题考查演绎推理，属于基础题． 2.【答案】C
【解析】解：∵z= =
，
∴在复平面内，复数z对应的点的坐标为（ ， ），位于第三象限． 故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵
，
．
， ，
∴
故选：C．
≈0.78＞0，＜0．
由已知求得 ， ，进一步求得与的值得答案．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 4.【答案】A
2
【解析】解：假设当n=k（k≥2）时， ＜k，
2
故当n=k+1时，有2（ + +…+ + ）＜k+2 ， 因为2 = ＜2k+1，
2
故 + ）＜（k+1）， 故选：A．
由假设，推得n=k+1的结论，结合放缩法可得结论．
本题考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，考查推理能力，属于基础题． 5.【答案】A
【解析】解：由ξ服从正态分布N（4，9），得μ=4，σ=3． ∵P（1＜ξ≤13）=P（4-3＜ξ≤4+3×3）=
，
故选：A．
根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=4，且P（1＜ξ≤13）=P（μ-δ＜ξ≤μ+3δ），即可求得答案．
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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6.【答案】A
2
dx+ （sinx）dx+ 【解析】解：根据题意， = （x）
（ ）dx
= +cosx +×22=+2π； 故选：A．
2
根据题意，分析可得 = （x）dx+ （sinx）dx+
（ ）dx，由定积分计算公式计算可得答案．
本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题． 7.【答案】B
【解析】解：先将学生和王老师进行捆绑，共有 种站法， 再将老师进行站队，共有 种站法， 最后将2位家长进行插空， 共有 种站法，
则一共有 =960种不同的站法， 故选：B．
先将学生和王老师进行捆绑，共有 种站法，再将老师进行站队，共有 种站法，最后将2位家长进行插空，共有 种站法，继而得出结果即可． 本题考查排列组合知识，属于中档题． 8.【答案】D
2 ••1-•（）2+ •（）2+（1-）2•【解析】解：小明获胜的概率为P=（1- ）• （）
（ ）
2
=++=．
故选：D．
由题意可得小红没进球，小明进1个球，或小红进1球，小明进2个球，或小红没进球，
小明进2个球，可得小明获胜，由相互独立的事件同时发生的乘法公式，可得所求值．本题考查相互独立的事件同时发生的乘法公式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能
力，属于基础题． 9.【答案】B
【解析】解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 则P（X=0）= ；P（X=1）= ；
P（X=2）= ；P（X=3）= ．
． 故E（X）=1×
故选：B．
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，再由期望公式求期望． 本题考查考查离散型随机变量期望的求法，训练了二项分布及其应用，是中档题．
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10.【答案】D
【解析】解：依题意得：f′（x）=∴
≥0，
≥m在（ ，2）上恒成立．
令g（x）=，故g′（x）=
＞0
∴函数g（x）在（ ，2）上单调递增，则g（ ）=0≥m ∴实数m的取值范围为（-∞，0] 故选：D． 函数f（x）=
（e为自然对数的底数）在（ ，2）上单调递增，即其导数f′（x）
≥0恒成立，即
≥m在（，2）上恒成立．
将恒成立问题转换成最小值问题，利用导数求g（x）=的最小值，即可得到m
的范围．
本题考查函数单调性与导数的关系，关键是将在某个区间是单调的转化为导数≥0或≤0的恒成立问题，以及恒成立问题的处理，是常规题，属于中档题． 11.【答案】C
【解析】解：观察可知，等号的右边为数列{2n-1}中的数， 故在17之前，已经使用了
3
3
个数，
故17=273+275+…+305， 故所有数的个位数之和为83， 故选：C．
观察可知，等号的右边为数列{2n-1}中的数，故在17之前，已经使用了数，故17=273+275+…+305，故所有数的个位数之和为83． 本题考查归纳推理，对观察能力考查较多，注意发现规律．
3
3
个
12.【答案】C
x
【解析】解：∵f'（x）-f（x）＜2e∴构造函数g（x）=则g′（x）=
，
，
∴g′（x）＜0，g（x）在R上为减函数 ∵
＞ ⇔g（x）＞0，
而g（2）=
且f（2）=4e2，
∴g（2）=0， ∴
＞ 的解集为（-∞，2）
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故选：C．
①由f'（x）-f（x）＜2ex联想到构造函数g（x）=在R上为减函数 ②由
，容易得到g′（x）＜0，g（x）
＞ ⇔g（x）＞0以及g（2）=
与f（2）=4e2易得：g（2）=0，利用单
调性即可得出结果．
本题考查利用导数判断函数单调性的问题，构造新函数是关键，利用单调性解不等式，建议积累有关这方面题的解题经验，多总结．属于中档题 13.【答案】
20212
【解析】解：由i•（4+mi）=（n+2i），
2
得i（4+mi）=n+4ni-4，
2
即-m+4i=n+4ni-4，
，即m=3，n=1． ∴
∴|z|=|3+i|= ． 故答案为： ．
把已知等式变形，再由复数相等的条件求得m，n的值，然后利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．
14.【答案】5x-y-4=0
2
【解析】解：f（x）=x+ln（3x-2）的导数为f′（x）=2x+ ，
可得曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为5， 切点为（1，1），可得切线方程为y-1=5（x-1）， 即为5x-y-4=0．
故答案为：5x-y-4=0．
求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 15.【答案】49
【解析】解：当b=40时，a一定是7的倍数，则a的值为7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，
240，010，130，200，020，140，210，030，100，220，所对应的b分别为120，故a=49．
当b=40时，a一定是7的倍数，则a的值为7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，所对应的b分别为120，240，010，130，200，020，140，210，030，100，220，故a=49．
本题考查合情推理，要列举，找规律，容易题． 16.【答案】540
【解析】解：若按照1：1：1进行分配，则有若按照1：1：4进行分配，则有
6=90种； =15×
=90种；
若按照1：2：3进行分配，则有 种， 故共有540种分配方法．
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若按照1：1：1进行分配，则有有
6=90种；若按照1：1：4进行分配，则 =15×
=90种；若按照1：2：3进行分配，则有 种，继而得出
结果．
本题考查排列组合知识，分类计数原理等，属于中档题． 17.【答案】解：（Ⅰ）令x=0，解得 =16； （Ⅱ）令x=1，即81=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8； 令x=-1，即2401=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8； 两式相加，得1241=a0+a2+a4+a6+a8；
而 =192， 故a0+a2+a4+a6+a8=1241-192=1049．
【解析】（Ⅰ）令x=0，解得 =16；
（Ⅱ）令x=1，即81=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8；令x=-1，即
2401=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8；两式相加，得1241=a0+a2+a4+a6+a8；算出a2，继而得解．
本题考查二项式定理，属于中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）由题意知， = ×（9+11+14+16+15）=13，
（30+32+36+42+40）=36， = × 所以
0+3×6+2×4=58， （xi- ）（yi- ）=（-4）×（-6）+（-2）×（-4）+1×
22222
=（-4）+（-2）+1+3+2=34，
==，
= - =36- ×13=，
∴y关于x的线性回归方程= x+ ； （Ⅱ）
22222
=（-6）+（-4）+0+6+4=104，
计算相关系数r=
；
= ≈0.967＞0.75，
所以（Ⅰ）中线性回归模型的拟合效果较为良好．
【解析】（Ⅰ）由题意计算平均数和回归系数，写出线性回归方程； （Ⅱ）根据题意计算相关系数r，比较即可．
本题考查了线性回归方程与相关系数的应用问题，是基础题．
19.【答案】证明：（Ⅰ）要证|x-2y|≥ ，
2
即证（x-2y）≥x（2y- x）， 222
即为x-4xy+4y-2xy+ x≥0，
222
即为9x-24xy+16y≥0，即（3x-4y）≥0， 上式显然成立，
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故|x-2y|≥ ；
（Ⅱ）若m＞ ，m+ + =m+ + （ - ） =m+ =m- + • + ≥2 + = ，
当且仅当m=1时，上式取得等号．
【解析】（Ⅰ）运用分析法证明，结合两边平方，配方即可得证； （Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用分析法和基本不等式，考查变形能力和化简能力，推理能力，属于中档题．
20.【答案】68 100 40 100 128 72 200
【解析】解：（Ⅰ）任取一件产品，内径在[16，28）的概率P= ． 故X～B（3， ）， P（X=0）= ，
P（X=1）= ， P（X=2）= ，
P（X=3）=
．
故X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； 故E（X）=3×
2列联表： （Ⅱ）依题意，所得2×
甲机器生产 乙机器生产 总计 故K的观测值k=
2
内径小于28mm 68 60 128
内径不小于28mm 32 40 72 总计 100 100 200 ＜6.635．
故没有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．
（Ⅰ）由频率分布表可得任取一件产品，内径在[16，28）的概率，可知X～B（3， ），分别求出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，再由二项分布的期望公式求期望；
2列联表，求得K2的观测值k，结合临界值表得结论． （Ⅱ）填写2×
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查独立性检验及其应用，考查计算能力，是中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）依题意x∈R，f′（x）=（x2-mx+2x-m）ex=[x2+（2-m）x-m]ex
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222
令y=x+（2-m）x-m，则△=（2-m）+4m=4+m＞0
2
令f′（x）=0，则x+（2-m）x-m=0
解得x=
结合二次函数图象可知： 当x∈（-∞，
）∪（
，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（
，
）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，
）和（
，+∞）
单调递减区间为（
，
）
xxx2
（Ⅱ）令g（x）=nf（x）+1-e=n（x-2x）e-e+1
2
当x∈（-∞，0]时，x-2x≥0
而2n+1≥0⇔n≥-
xx 22
故n（x-2x）e≥- （x-2x）exx2
∴g（x）≥- （x-2x）e-e+1
xx2
令h（x）=- （x-2x）e-e+1，x∈（-∞，0] 2x
∴h′（x）=- xe≤0
故函数h（x）在（-∞，0]上单调递减，则h（x）≥h（0）=0 则任意的x∈（-∞，0]，g（x）≥h（x）≥0
x
∴关于x的不等式nf（x）+1≥e在（-∞，0]上恒成立．
xx222
【解析】（Ⅰ）对函数f（x）=（x-mx）e求导，得到f′（x）=（x-mx+2x-m）e=[x+
x22
（2-m）x-m]e，分析即可知道f′（x）中x+（2-m）x-m]决定f′（x）的符号，所以令y=x+（2-m）x-m=0得出它的解x=
，即可得出单调区间．
xxxx2
（Ⅱ）①分析nf（x）+1≥e，构造函数g（x）=nf（x）+1-e=n（x-2x）e-e+1， 2
②由m=2，2n+1≥0，x∈0]，ex≥-（x2-2x）ex从而得出g≥-（x2-2x）（-∞，得出n（x-2x）（x）
ex-ex+1，
③构造函数h（x）=- （x2-2x）ex-ex+1，求导研究其最小值h（x）≥h（0）=0，即可得任意的x∈（-∞，0]，g（x）≥h（x）≥0，从而得到证明．
本题考查了利用导数求函数的单调性问题、最值问题、证明恒成立问题；利用转化化归思想正确的处理恒成立是本题的难点，灵活的构造函数也决定了解答问题的成败，因此本题需要学生们掌握函数求最值的基础知识和构造函数的技巧以及利用转化化归思想解决的恒成立问题的能力，属于难题．
，（0为参数），
22
消去参数θ，可得曲线C的普通方程为（x-2）+（y-2）=8；
22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为
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由直线l的极坐标方程ρ= ，得3ρsinα+4ρcosα=11， 即直线l的直角坐标方程为4x+3y-11=0；
（Ⅱ）设直线l的参数方程为 （t为参数），
22
代入C：（x-2）+（y-2）=8，得 ．
设M，N对应的参数分别为t1，t2， 则 ，t1t2=-7．
故|AM|•|AN|=|t1|•|t2|=|t1t2|=7．
【解析】（Ⅰ）直接把曲线C的参数方程中的参数消去可得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及t的几何意义求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程与参数方程的互化，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞3即为|2x+3|-|x-2|＞3， 当x≥2时，2x+3-（x-2）＞3，解得x≥2； 当x≤- 时，-2x-3+x-2＞3，解得x＜-8； 当- ＜x＜2时，2x+3+x-2＞3，解得 ＜x＜2， 综上可得f（x）＞3的解集为{x|x＜-8或x＞ }；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞m-|3x-6|在R上恒成立， 可得|2x-3|-|x-2|+|3x-6|＞m，即为m＜|2x+3|+|2x-4|的最小值，
由|2x+3|+|2x-4|≥|2x+3-（2x-4）|=7，当且仅当（2x+3）（2x-4）≤0，取得等号， 则m＜7．
【解析】（Ⅰ）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；
（Ⅱ）由题意可得m＜|2x+3|+|2x-4|的最小值，由绝对值不等式的性质即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于中
档题．
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