椭圆双曲线抛物线知识总结

（焦点在x轴） 标准 方程 （焦点在y轴） x2y21(ab0) a2b2y2x21(ab0) a2b2第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。MMF 1MF22a2aF1F2yM yF2 F2 M®®® F1 O x OF1 x定 义 第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。 y yM M F2 MF1 F2 x F1 Mx 范 围 顶点坐标 对 称 轴 xa yb (a,0) (0,b) xb ya (0,a) (b,0) x轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为2b 对称中心 F1(c,0) F2(c,0) 焦点坐标 原点O(0,0) F1(0,c) F2(0,c) 焦点在长轴上，ca2b2； 焦距：F1F22c 离 心 率 c2a2b2c2， e (0e1) ,e2aaae越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。 a2x c准线方程 a2y c2a2准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离： ca2a 顶点A1（A2）到准线l1（l2）的距离为c顶点到准线的距离 a2a 顶点A1（A2）到准线l2（l1）的距离为ca2c 焦点F1（F2）到准线l1（l2）的距离为c焦点到准线的距离 a2c 焦点F1（F2）到准线l2（l1）的距离为c最大距离为：ac 最小距离为：ac 相关应用题：远日距离ac 近日距离ac 椭圆上到焦点的最大（小）距离 椭圆的参数方程 xacos（为参数） ybsinxbcos（为参数） yasinxacos（为参数）上一点到直线椭圆上的利用参数方程简便：椭圆ybsin点到给定直线的距离 AxByC0的距离为：d|AacosBbsinC|AB22 x2y2椭圆221与直线ykxb的位置关系： abx2y21转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和椭利用a2b2ykxb圆的位置 相交弦AB的弦长AB1k2(x1x2)24x1x2 通径：ABy2y1 过椭圆上一点的切线

x0xy0y21 利用导数 a2by0yx0x21 利用导数 a2b 二．双曲线

标准方程（焦点在x轴） 双曲线 标准方程（焦点在y轴） x2y21(a0,b0) a2b2y2x21(a0,b0) a2b2第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。MMF 1MF22a2aF1F2P F1 yy x xyyxF2xF2 P 定义 F1 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e1）叫做双曲线的离心率。 P F1 y yyP x xP yxF2 F2 xP 范围 对称轴 对称中心 焦点坐标 F1 xa，yR ya，xR x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 原点O(0,0) F1(c,0) F2(c,0) F1(0,c) F2(0,c) 焦点在实轴上，ca2b2；焦距：F1F22c 顶点坐标 离心率 a2 xc（a,0） (a,0) (0, a,) (0，a) ec(e1) aa2 yc2准线方程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a cc顶点到准线的距离 顶点A（A）到准线l（l）的距离为a2a 2211c顶点A1（A2）到准线l1（l2）的距离为aa 2c焦点到准线的距离 焦点F（F）到准线l（l）的距离为a2c 1221c焦点F1（F2）到准线l1（l2）的距离为ca 2渐近线 方程 共渐近线的双曲线系方程 yb虚x () a实xb虚y () a实x2y2k（k0） a2b2y2x2k（k0） a2b2x2y2双曲线221与直线ykxb的位置关系： abx2y21转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和双利用a2b2ykxb曲线的位置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长AB1k2(x1x2)24x1x2 通径：ABy2y1 过双曲线上一点的切线 x0xy0y21 或利用导数 a2by0yx0x21 或利用导数 a2b

三．抛物线 y22px(p0)抛 物 线 l y y22px(p0) y x22py(p0)y F O x22py(p0) y l O x l O x l F x O F x F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF=点M到直线l的距离} 范围 对称性 焦点 x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0 关于x轴对称 (关于y轴对称 p,0) 2(p,0) 2(0,p) 2(0,p) 2焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 O(0,0) e=1 xp 2xp 2p 2yp 2yp 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 设直线过焦点F与抛物线y2px(p>0）交于Ax1,y1，Bx2,y2 2焦点弦的几条性质 p2则：（1）x1x2= 4 （2）y1y2p （3）通径长：2p （4）焦点弦长ABx1x2p 2y o Ax1,y1 x Bx2,y2 F 直线与抛物线的位置 切线 方程

抛物线y2px与直线ykxb的位置关系： 2ykxb利用2转化为一元二次方程用判别式确定。 y2pxy0yp(xx0) y0yp(xx0) x0xp(yy0) x0xp(yy0) 四．椭圆、双曲线及抛物线的性质对比(焦点在x轴上) 名称 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2︱) 抛物线 |PF|= 点F不在直线l上，PM⊥l于M 定义 标准 方程 x2y21 a2b2（a>b>0) x2y21 a2b2(a>0,b>0) y2=2px (p>0) 图象 范围 xa,yb (a,0),(0,b) xa (a,0) x0 顶点 对称性 焦点 几何性质 轴 (0,0) 关于x轴对称 关于x轴，y轴和原点对称 （ c,0 ） 长轴长2a, 短轴长2b 实轴长2a， 虚轴长2b p(,0) 2 准线 a2x cxp 2通径 2b2AB aAB2p 渐近线 ybx a