如图1,在△ABC和△AEF中,∠BAC=∠EAF=α,AB=AC,AE=AF,点D是BC的中点...

发布网友发布时间：2024-10-11 08:47

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热心网友时间：2024-10-14 01:20

（1）①MN=DN．
理由：∵点D是BC的中点，N是CE的中点，
∴DN是△BEC的中位线．∴DN=12BE．
∵M是EF的中点，∴MN是△EFC的中位线．
∴MN=12FC．
∵AB=AC，AE=AF，∴AB+AE=AC+AF，
∵点E，F分别在BA，CA的反向延长线上，∴BE=FC．
∴DN=MN．
②∵DN是△BEC的中位线，MN是△EFC的中位线，
∴MN∥FC，DN∥BE，
∴∠MND+∠3=180°，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠1+∠MND=180°，
∴∠MND=180°-α．
故答案为：∠MND=180°-α；

（2）解：①和②均仍然成立．
连接BE，CF．
∵D是BC中点，N是EC中点，∴DN是△BEC的中位线．
∴DN=12BE，DN∥BE．
同理，MN=12CF，MN∥CF．
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
AB＝AC∠BAE＝∠CAFAE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE=CF，
∴DN=MN．即①仍然成立．
∵DN∥BE，∴∠NDC=∠EBC．
∵∠END=∠NDC+∠NCD
∴∠END=∠EBC+∠ECB．
∵MN∥CF，∴∠ENM=∠ECF．
即∠ENM=∠ECA+∠ACF=∠ABE+∠ACE．
∠DNM=∠EBC+∠ECB+∠ABE+∠ACE=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC．
∴∠DNM=180°-α．

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